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CCINP Mathématiques 2 MP 2021

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RéductionAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsTopologie/EVN
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CCINP
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2021
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Maths
CCINP MPCCINP 2021MP MathsMaths 2021
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème indépendants.

Notations pour l'ensemble du sujet :

K désigne ou .
On note, pour entier naturel, :
  • le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille à coefficients dans K.
  • le sous-espace vectoriel des matrices diagonales de .

EXERCICE

Q1. On munit du produit scalaire canonique , déterminer , l'orthogonal de pour ce produit scalaire.

PROBLÈME - Théorème de décomposition de Dunford

On admet le théorème suivant que l'on pourra utiliser librement :
Si est une matrice de telle que son polynôme caractéristique soit scindé sur K , alors il existe un unique couple ( ) de matrices de vérifiant les quatre propriétés :
(1) ;
(2) est diagonalisable dans (pas nécessairement diagonale);
(3) est nilpotente ;
(4) .
De plus, et sont des polynômes en et .
Le couple ( ) s'appelle la décomposition de Dunford de .

Partie I - Quelques exemples

Q2. Donner le couple de la décomposition de Dunford d'une matrice de lorsque est diagonalisable, puis lorsque la matrice de est nilpotente.
Justifier qu'une matrice trigonalisable vérifie l'hypothèse du théorème, admettant ainsi une décomposition de Dunford.
Le couple de matrices est-il la décomposition de Dunford de la matrice ?
Q3. Donner un exemple d'une matrice de n'admettant pas de décomposition de Dunford dans .
Q4. Soit la matrice .
Calculer son polynôme caractéristique , puis donner le couple de la décomposition de Dunford de (on utilisera le fait que ).
Q5. Application
Pour est l'exponentielle de la matrice .
Déduire de la question précédente l'exponentielle de la matrice définie en .
On pourra utiliser sans démonstration que si et sont deux matrices de qui commutent, .
Q6. Soit telle que .
Justifier que le polynôme est annulateur de la matrice .
Démontrer que le couple ( ) de la décomposition de Dunford de la matrice est donné par : et .

Partie II - Un exemple par deux méthodes

Soit la matrice .
On note l'endomorphisme de canoniquement associé à la matrice .
On notera id l'application identité de .
Q7. La matrice est-elle diagonalisable dans ?
Démontrer qu'on a la somme directe : .
Q8. Déterminer une base de telle que :
et .
Écrire la matrice de dans la base de .
Q9. Déterminer le couple de la décomposition de Dunford de la matrice et en déduire le couple (on calculera ces matrices) de la décomposition de Dunford de la matrice .
Q10. Décomposer en éléments simples la fraction et en déduire deux polynômes et tels que :
Q11. On pose les endomorphismes : et .
Calculer pour tout vecteur de .
Démontrer que est le projecteur sur parallèlement à et est le projecteur sur parallèlement à .
Q12. On pose . Écrire la matrice de dans la base de (de la question Q8).
Déterminer le couple de la décomposition de Dunford de la matrice en exprimant et comme polynômes de la matrice (sous forme développée).

Partie III - Une preuve de l'unicité de la décomposition

Q13. Soit un K-espace vectoriel de dimension .
Soient et deux endomorphismes diagonalisables de qui commutent. On note les valeurs propres de et pour tout le sous-espace propre de associé à la valeur propre .
Démontrer que tout sous-espace propre de est stable par .
En déduire qu'il existe une base commune de diagonalisation pour et .
Pour tout , on pourra noter l'endomorphisme induit par sur .
Q14. Soient et deux matrices diagonalisables de qui commutent. Démontrer que la matrice est diagonalisable.
Q15. Soient et deux matrices nilpotentes de qui commutent, démontrer que la matrice est nilpotente.
Q16. Déterminer les matrices de qui sont à la fois diagonalisables et nilpotentes.
Q17. Dans cette question, on admet, pour toute matrice carrée de à polynôme caractéristique scindé, l'existence d'un couple ( ) vérifiant les conditions (1), (2), (3), (4) et tel que et soient des polynômes en .
Établir l'unicité du couple ( ) dans la décomposition de Dunford.

Partie IV - Non continuité de l'application

Q18. On note l'ensemble des matrices de qui sont diagonalisables.
est-il un espace vectoriel ?
Si est une matrice inversible de , justifier que l'application de vers est continue.
Q19. Démontrer que est dense dans .
Q20. Si est le couple de la décomposition de Dunford d'une matrice , on note l'application de dans qui à la matrice associe la matrice .
Justifier que est l'application identité sur et en déduire que l'application n'est pas continue.

FIN

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