CCINP Mathématiques 2 MP 2022

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

Pour entier, , on définit le déterminant de Vandermonde de nombres complexes par:

L'objet de cet exercice est de démontrer par récurrence que l'on a : .

Q1. Calculer . Expliquer pourquoi il suffit de faire la démonstration pour nombres complexes deux à deux distincts.
Dans la suite, sont nombres complexes deux à deux distincts.
Q2. On considère la fonction .
Démontrer que est une fonction polynomiale de degré au plus et justifier que le coefficient de est un déterminant de Vandermonde.
Démontrer par récurrence que .
Q3. Première application
Calculer le déterminant de la matrice en faisant apparaître le déterminant de Vandermonde .

Q4. Deuxième application
Donner un exemple de nombres complexes deux à deux distincts et tous non nuls, tels que .
Soit nombre complexes deux à deux distincts et tous non nuls, démontrer que l'une au moins des sommes est non nulle.

On pourra utiliser un déterminant de Vandermonde non nul.

Dans cet exercice, désigne une norme d'algèbre sur , c'est-à-dire une norme vérifiant, pour tout couple de matrices de .

Q5. Démontrer que pour toute matrice de , la série converge. On notera sa somme.

Q6. Démontrer que l'application est continue sur .
Q7. Si est une matrice non nulle de la boule de centre 0 et de rayon , déterminer la limite de lorsque tend vers 0 .
En déduire que l'application est différentiable en la matrice 0 . On précisera sa différentielle en 0 .

Pour toute matrice de , on note .
Dans ce problème, on note l'espace vectoriel des matrices de symétriques.
On dit que la matrice est symétrique positive lorsque toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles.
On note l'ensemble des matrices symétriques positives.

Pour et deux réels, on note :

Q8. Démontrer, en détaillant les calculs, que , si et seulement si, et .

Q9. Calculer pour tout entier non nul. Cette relation est-elle valable pour ?
En utilisant la relation , calculer et expliciter .
On pourra utiliser sans démonstration que, si deux matrices et de commutent, alors .
Vérifier que .

Q10. Soit une matrice inversible de .
Justifier que l'application est continue sur .
Si est semblable à une matrice diagonale , déterminer une matrice diagonale semblable à la matrice .
En déduire que .

Dans cette partie, pour une matrice de , on note la matrice de , de terme général .
Nous allons démontrer que si , alors .
On définit le produit de Hadamard de deux matrices et de noté * par :

On note le produit usuel de deux matrices et par .

On confond une matrice de avec son terme réel.
Q11. Vérifier que, lorsque la matrice , la matrice .
Q12. Si est une matrice diagonale dont tous les termes sont positifs ou nuls et si est matrice de , quel est le signe de ?
En déduire qu'une matrice de appartient à si, et seulement si, pour toute matrice on a .

Q13. Si et sont deux matrices de et deux réels positifs, démontrer, en utilisant la question Q12, que est une matrice de .
Si et sont deux matrices de a-t-on nécessairement ?
Q14. Si , démontrer qu'il existe une matrice telle que .
Q15. Si et sont deux matrices de , si on pose et avec , et si , vérifier que, pour tout couple , .
En déduire que, si et sont deux matrices de , on a .
Q16. Pour toute matrice de et pour tout entier naturel , on note la matrice ( fois).
On note la matrice dont tous les termes sont égaux à 1 et .
Soit une matrice de , déterminer la limite de la suite de matrices ( ) définie pour tout entier naturel non nul par .

Q17. Pour , justifier que l'application est continue sur , puis démontrer que est une partie fermée de .
En déduire que si alors .