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CCINP Mathématiques 2 MPI 2024
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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesRéductionSuites et séries de fonctions
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI
MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
- Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
- Ne pas utiliser de correcteur.
- Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites.
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.
EXERCICE 1
Q1. Justifier que la matrice
Q2. Application : On considère trois suites réelles
Pour tout
Pour tout
À quelle condition sur
Pour tout
À quelle condition sur
EXERCICE 2
On considère la série de fonctions
Q3. Déterminer l'ensemble de définition
Q4. Démontrer que
Q5. Calculer la limite de
Q3. Déterminer l'ensemble de définition
Q4. Démontrer que
Q5. Calculer la limite de
Q6. Démontrer que, pour tout
Q7. En déduire un équivalent de
Q7. En déduire un équivalent de
PROBLÈME
Le but de ce problème est de démontrer et utiliser plusieurs critères pour prouver qu'une matrice symétrique réelle est définie positive. On rappelle que, pour un entier naturel non nul
Q8. Démontrer, en utilisant directement la définition précédente, que la matrice
Caractérisation spectrale
Q9. Énoncer et démontrer une condition nécessaire et suffisante sur les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle pour que celle-ci soit définie positive.
Q10. Application: Démontrer que le polynôme
Démontrer alors que la matrice
Démontrer alors que la matrice
Un critère en dimension 2
Dans cette partie, on souhaite démontrer la caractérisation suivante :
Une matrice symétrique
Une matrice symétrique
Q11. Démontrer qu'une matrice définie positive
Q12. Démontrer qu'une matrice symétrique
Q13. Le résultat de la question précédente reste-t-il vrai pour les matrices symétriques de
Q14. Application : Utiliser le résultat précédent afin de démontrer que
Le critère de Sylvester
Dans cette partie, on étudie le critère de Sylvester, valable en toute dimension.
Pour une matrice carrée quelconque
Par exemple, les trois mineurs principaux de la matrice
Pour une matrice carrée quelconque
Par exemple, les trois mineurs principaux de la matrice
On dit qu'une matrice vérifie le critère de Sylvester si tous ses mineurs principaux sont strictement positifs. On souhaite alors démontrer la caractérisation suivante :
Une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si elle vérifie le critère de Sylvester.
Par exemple, pour la matrice
La matrice
Q15. On fixe une matrice
Q15. On fixe une matrice
Q16. Démontrer que toute matrice symétrique réelle définie positive vérifie le critère de Sylvester.
Dans les deux questions suivantes, il s'agit de démontrer la réciproque, c'est-à-dire que toute matrice symétrique réelle vérifiant le critère de Sylvester est définie positive. Pour cela, on va raisonner par récurrence sur la taille
Q17. Soit
On suppose que la matrice
Justifier l'existence d'un vecteur colonne
En notant
Justifier l'existence d'un vecteur colonne
En notant
Q18. Démontrer par récurrence que toute matrice symétrique réelle vérifiant le critère de Sylvester est définie positive.
Q19. Pour quelles valeurs de
Q20. La matrice
Q20. La matrice
Q21. Démontrer que pour tout
Q22. Pour quelles valeurs de