N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème.

EXERCICE 1

est un entier naturel supérieur ou égal à 1.
On se donne des réels strictement positifs notés

et on pose :

On désigne par

l'ensemble des matrices réelles symétriques définies positives d'ordre

.
Q1. Démontrer l'inégalité suivante:

Q2. En déduire l'inégalité :

Q3. Établir que l'inégalité précédente est une égalité si, et seulement si,

Q4. Dans cette question

désigne une matrice de

. Démontrer l'inégalité :

et établir que c'est une égalité si, et seulement si,

Désormais

désigne une matrice de

Q5. Démontrer que pour tout

on a :

Q6. On pose

. Démontrer que

et en déduire que :

avec égalité si, et seulement si,

est diagonale.

EXERCICE 2

On définit une suite

en posant

et pour tout entier naturel

Dans les questions suivantes,

sont des entiers naturels.

Q7. Donner le degré et le terme dominant de

en fonction de

Q8. Justifier que pour tout réel

Pour

dans

, on pose :

Q9. Justifier la convergence de cette intégrale.

Q10. Démontrer que

(ensemble des polynômes de

de degré inférieur ou égal à k ).

Q11. Calculer pour

entiers naturels,

Q12. Donner une base orthonormale de

pour ce produit scalaire.

PROBLÈME - Matrices de rang 1

est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

On note

l'ensemble des matrices réelles d'ordre

l'ensemble des matrices colonnes réelles d'ordre

l'ensemble des matrices lignes réelles d'ordre

Partie I - Exemples

On suppose que

sont des variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et toutes de loi de Bernoulli de paramètre

. On définit les matrices aléatoires :

Q13. On pose

.
Montrer que la variable aléatoire

suit une loi de Bernoulli de paramètre

Q14. Reconnaître la loi de la variable aléatoire

Q15. Vérifier que

et en déduire la probabilité de l'événement «

est une matrice de projection ».

Q16. Dans cette question, on suppose que

sont des variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et toutes de loi de Poisson de paramètre

. On définit la matrice aléatoire

comme ci-dessus. Avec ces nouvelles hypothèses, calculer à nouveau la probabilité de l'événement «

est une matrice de projection ».

Q17. On note J la matrice de

dont tous les coefficients sont égaux à 1 . Donner son rang et sa trace, puis la diagonaliser (on précisera une matrice de passage).

Q18. Donner (en le justifiant) une matrice d'ordre 3 de rang 1 non diagonalisable. Préciser sa trace.

Partie II - Résultats généraux

Dans cette partie,

désigne une matrice de

de rang égal à 1 .

Q19. On note

la première colonne non nulle de

. Démontrer qu'il existe une matrice ligne

non nulle telle que

Q20. Calculer le réel

et en déduire que

Q21. Déterminer le polynôme caractéristique de

ainsi que son polynôme minimal.

Q22. Établir que:

On note désormais

l'endomorphisme de

canoniquement associé à

Q23. On suppose que

.
Justifier que

, puis qu'il existe une base de

dans laquelle

est représenté par la matrice :

Q24. On suppose que

.
Démontrer qu'il existe une base de

dans laquelle

est représenté par la matrice :

où

est un réel non nul.

Q25. Conclure que dans

deux matrices de rang 1 sont semblables si et seulement si elles ont la même trace.

CCINP Mathématiques 2 MPI 2025

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

RAPPEL DES CONSIGNES

Les calculatrices sont interdites

EXERCICE 1

EXERCICE 2

PROBLÈME - Matrices de rang 1

Partie I - Exemples

Partie II - Résultats généraux

FIN