CCINP Mathématiques 2 PC 2003

Les calculatrices sont interdites

N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté,
à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé,
il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition
en expliquant les raisons des initiatives qu'll a été amené à prendre.

Pour tout nombre réel on définit la fonction de la variable réelle par :

Soit la série de Fourier de la fonction .
I. 1 Calculer pour tout .

La fonction est-elle égale en tout point de à la somme de sa série de Fourier ?
I. 2 En déduire, pour tout , l'égalité :

I. 3 Montrer que la série de fonctions de terme général , converge simplement sur , et que la série de fonctions de terme général converge normalement sur tout segment .

En déduire une expression de pour tout .
I. 4 Soit la suite de fonctions définies pour tout par la récurrence :

I.4.1 Montrer que la suite de fonctions converge simplement sur . Nous noterons sa limite.
I.4.2 Montrer que pour tout et tout on a . En déduire que pour tout .
I.4.3 Calculer pour tout . En déduire que pour tout on a .

On considère la suite de fonctions définies pour tout par :

II.1.1 Soit un nombre entier naturel. Déterminer .
II.1.2 On suppose que n'est pas un nombre entier négatif ou nul. Montrer que la suite converge vers une limite non nulle (on pourra considérer la série de terme général , défini à partir d'un certain rang que l'on déterminera en fonction de ).
Nous noterons la fonction , définie sur tout entier.
II. 2 Montrer que pour tout on a . Calculer et en déduire pour tout .

II. 3 Montrer que pour tout on a . On pourra étudier, pour le rapport .
II. 4 On se propose dans cette question de montrer que pour tout et tout on a la relation :

II.4.1 Montrer que la relation (1) est vérifiée lorsque est entier négatif ou nul.
II.4.2 On suppose que n'est pas entier négatif, et soit un élément quelconque de . Montrer que ne dépend pas de . En déduire que vérifie une

relation du type :

où est un nombre réel positif ou nul dépendant de .
II.4.3 En écrivant pour la relation ci-dessus, montrer que :

En déduire une expression de en fonction de et de .
II.4.4 Montrer l'identité suivante entre fonctions polynômes de la variable réelle :

En donnant à là valeur 1 , en déduire les valeurs de et de , ainsi que la relation (1).

Soit la fonction de la variable réelle définie par .
III. 1 Déterminer le domaine de définition de et montrer que est indéfiniment dérivable sur .
III. 2 Pour tout et tout on pose .
III.2.1 On pose . Déterminer une relation entre et et en déduire l'expression de en fonction de et .
En déduire que .
III.2.2 Montrer que pour tout on a les inégalités et . En déduire que l'on a pour tout .
III.2.3 Montrer, par récurrence sur , que l'on a na pour tout et tout . En déduire que pour tout on a les inégalités :

III.2.4 Déduire de ce qui précède la limite, pour , de lorsque tend vers et exprimer en fonction de pour .
III. 3 Montrer que est indéfiniment dérivable sur .