CCINP Mathématiques 2 PC 2004

Les calculatrices sont interdites

N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

La partie II peut être traitée indépendamment des parties I et III.

On considère la série entière de la variable complexe , où est un nombre réel donné.
I. 1 Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.
I. 2 Dans cette question, désigne un nombre complexe de module 1.
I.2.1 Etudier la convergence de dans le cas où ainsi que dans le cas où .
I.2.2 Dans le cas où , étudier la convergence de pour .
I.2.3 Toujours dans le cas où , on suppose que . On pose , et pour tout nombre entier .

Montrer que pour tout , avec .
En écrivant sous la forme pour tout nombre entier , montrer que :

Montrer que la série est convergente et en déduire que la série est convergente.

Nous noterons dorénavant la somme pour tout couple pour lequel cette série est convergente.
I. 3 On note l'intervalle ouvert de .
I.3.1 Montrer que pour tout on a .
I.3.2 Calculer et pour tout .
I. 4 On suppose dans cette question que .
I.4.1 Soit la fonction définie sur pour tout par . Montrer que est intégrable sur et exprimer à l'aide de et l'intégrale .
I.4.2 Soit un nombre complexe de module inférieur ou égal à 1. Montrer que la série de fonctions de la variable réelle est intégrable terme à terme sur .
En déduire que pour tout et tout tel que , on a :

Pour tout nombre réel , on pose .
II. 1 Montrer que est une fonction indéfiniment dérivable de la variable sur .
II. 2 Montrer que est strictement décroissante sur .
II. 3 Montrer que pour tout on a :

En déduire la limite de lorsque tend vers .
Déterminer un équivalent de lorsque tend vers 1 par valeurs supérieures à 1 .

III. 1 Soit la fonction de la variable réelle définie par :
(i) pour tout .
(ii) est périodique de période .
III.1.1 Montrer que est paire. Développer en série de Fourier réelle. Etudier l'égalité entre et la somme de sa série de Fourier.
III.1.2 Calculer les valeurs de et , où est la fonction définie dans la partie précédente.
III. 2 Soit un nombre réel. On note la partie réelle de , où est la fonction définie à la question I.2.
III.2.1 Exprimer à l'aide de .
III.2.2 En déduire que pour tout on a :

III.2.3 Déduire de ce qui précède la valeur des intégrales :

III. 3 Soit un nombre réel strictement positif.
III.3.1 Montrer que pour tout on a les égalités :

III.3.2 En déduire des expressions des intégrales :

en fonction des sommes et de .