CCINP Mathématiques 2 PC 2007

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, la précision et à la concision de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Dans tout l'énoncé de ce problème, désigne un intervalle ouvert de symétrique par rapport à l'origine, et une fonction paire, de classe sur .

Toutes les fonctions considérées dans ce problème prennent leurs valeurs dans .
On note ( ) l'équation différentielle linéaire homogène du second ordre en la fonction inconnue de la variable réelle suivante :

On note l'unique solution de ( ) sur vérifiant les conditions initiales et , et l'unique solution de ( ) sur vérifiant les conditions initiales et .

I.1. Montrer que si est une solution de sur , alors est de classe sur .
I.2. Montrer que si est une solution de sur , alors la fonction est aussi solution de ( ) sur .
I.3. Montrer que est une fonction paire et une fonction impaire.

Exprimer la solution générale de sur à l'aide de et .
Déterminer parmi les solutions de ( ) sur celles qui sont paires et celles qui sont impaires.
I.4. On suppose que ne s'annule pas sur , et l'on pose .
I.4.1. Montrer que ne s'annule pas sur , et exprimer en fonction de .
I.4.2. En déduire qu'il existe une constante réelle , que l'on calculera, telle que .
I.4.3. On note la primitive de qui s'annule en . Exprimer à l'aide de et .
I.5. Dans cette question, on suppose que et que la fonction est solution de ( ) sur .
I.5.1. Déterminer et pour tout .
I.5.2 Déterminer pour tout . On pourra utiliser l'identité :

et exprimer comme fonction de .
I.5.3. En déduire la valeur de pour tout et expliciter la solution générale de sur .

Dans cette partie on suppose que et qu'en plus des conditions imposées au début de l'énoncé, est -périodique.

On s'intéresse aux éventuelles solutions -périodiques de l'équation .
II.1. Soit une solution de sur .

Montrer que la fonction est solution de sur .
II.2. En déduire qu'il existe des constantes réelles , que l'on déterminera en fonction des valeurs prises par en , telles que pour tout on ait :

II.3. Soit la matrice carrée d'ordre 2 définie par .

Montrer que pour que ( ) admette sur des solutions non identiquement nulles -périodiques, il faut et il suffit que admette 1 pour valeur propre. On pourra exprimer une telle solution en fonction de et puis utiliser la périodicité de .
II.4. Montrer que si ( ) admet sur des solutions non identiquement nulles -périodiques, alors l'une au moins des deux fonctions et est -périodique. On pourra, étant une telle solution, considérer les fonctions et .
II.5. On suppose dans cette question que la fonction est définie par :

où et sont des constantes réelles choisies de telle sorte que la solution sur de l'équation :

soit -périodique (on ne cherchera pas à démontrer l'existence de telles constantes et ).
Soit la fonction définie pour tout par .
On note la fonction définie pour tout .
II.5.1. Montrer que est de classe sur et paire.
II.5.2. Vérifier que pour tout couple on a :

En déduire que pour tout on a :

puis, au moyen d'une double intégration par parties, que est solution de sur .
II.5.3. Déduire de ce qui précède qu'il existe une constante réelle telle que pour tout on ait :

Dans cette partie, on suppose que et que est une fonction constante sur , égale à , avec .
III.1. Déterminer dans ce cas la solution générale de l'équation sur , ainsi que ses solutions et .
III.2. Soit une fonction de classe sur [. Montrer que la fonction définie pour tout par est solution de sur si et seulement si est solution sur de l'équation différentielle :

III.3. Soit une solution de sur [, admettant sur ] - [ un développement en série entière .
III.3.1. Déterminer une relation de récurrence reliant à pour tout . En déduire pour tout les expressions de en fonction de et , et de en fonction de et .

Pour quelles valeurs de l'équation ( ) admet-elle des solutions polynomiales non identiquement nulles?

Montrer que quelles que soient les valeurs de et , le rayon de convergence de la série entière est supérieur ou égal à 1 .
III.3.2. On note la solution de ( ) développable en série entière sur [ correspondant au choix , et la solution de ( ) développable en série entière sur [ correspondant au choix .

Donner une expression, sur , des fonctions et à l'aide des fonctions et .
III.3.3. Soit un nombre entier strictement positif.

Exprimer et , pour tout , sous la forme :

où est une fonction polynomiale de degré et une fonction polynomiale de degré .
Ces expressions sont-elles valides sur tout entier ?