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CCINP Mathématiques 2 PC 2012
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Intégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesSéries entières (et Fourier)
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC
MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont interdites
Les trois parties sont, dans une large mesure, indépendantes.
On s'intéresse ici aux propriétés de la fonction polylogarithme, définie comme série entière et à son prolongement grâce à une représentation intégrale. On établit aussi quelques formules générales et on complète l'étude par celle d'un cas particulier.
On s'intéresse ici aux propriétés de la fonction polylogarithme, définie comme série entière et à son prolongement grâce à une représentation intégrale. On établit aussi quelques formules générales et on complète l'étude par celle d'un cas particulier.
Partie I : le polylogarithme
Dans toute cette partie,
I - 1.1.
Déterminer le rayon de convergence de la série entière
I-1.2.
Justifier que l'application
I - 1.3.
Montrer que :
I-2.1.
Pour tout
Exprimer
Exprimer
I-2.2.
Pour
I-3.
Dans cette question, on suppose que
Montrer que
Montrer que
Partie II : prolongement pour
Dans toute cette partie,
II - 1.1.
Montrer que la fonction
II - 1.2.
Déterminer
II - 2.1.
Montrer que l'application
II - 2.2.
Pour tout réel
II - 2.3.
Montrer que l'application
II - 2.4.
Dans cette question, on suppose que
Montrer que la fonction
Montrer que la fonction
II - 2.5.
On revient au cas général où
Montrer que la fonction
Montrer que la fonction
II - 3.1.
Prouver l'existence de
II - 3.2.
Montrer que pour tout
II - 3.3.
En déduire que pour tout
On précisera avec soin le théorème d'intégration terme à terme utilisé.
II - 4.1.
Pour tout
Montrer que l'application
II-4.2.
Montrer que pour tout réel
II - 4.3.
Justifier que l'on peut prolonger la fonction
Montrer alors que pour tout
Partie III : le cas
On s'intéresse ici, pour tout
III - 1.1.
Soit
Calculer les coefficients de Fourier «
III - 1.2.
Grâce à l'égalité de Parseval que l'on précisera, appliquée à
III - 2.1.
Montrer que la fonction
est de classe
III - 2.2.
Montrer que la fonction
III - 2.3.
En déduire la valeur de
III - 2.4.
Prouver aussi que :
III - 3.
Grâce à II - 3, calculer
III - 4.
Désormais, on s'intéresse au prolongement de
III - 4.1.
Montrer alors que pour tout
On pourra effectuer un changement de variable et une intégration par parties.
III-4.2.
Pour tout
III - 4.3.
Justifier l'existence de l'intégrale
III - 4.4.
Préciser