CCINP Mathématiques 2 PSI 2000

Durée : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire 99-018 du 01.02.99.

Une feuille de papier millimétré devra être distribuée avec le sujet.
Le problème est consacré à l'étude des courbes dites "courbes de Bézier", du nom de l'ingénieur français Bézier, l'un des créateurs, dans les années 1960, de cet outil très répandu aujourd'hui dans l'industrie automobile et plus généralement dans le vaste domaine d'applications que constitue la conception assistée par ordinateurs (CAO).

désigne l'ensemble des entiers naturels, le corps des réels. Les notations usuelles en découlent pour les ensembles construits à partir de ceux-là. Par exemple, désigne l'ensemble des entiars naturels non nuls, l'ensemble des réels positifs ou nuls, etc.

Dans tout le problème, le plan vectoriel réel est muni de la base canonique :

Chaque vecteur s'identifie ainsi au couple de ses coordonnées dans la base canonique.
Un point de vue différent mais cohérent avec ce qui précède permet que les éléments de soient parfois appelés points, l'ensemble étant alors muni de sa structure de plan affine et repéré par le repère canonique ( ), où . Tout point du plan s'identifie alors au couple de ses coordonnées dans ce repère. On pourra ainsi écrire simplement :

pour exprimer que les coordonnées du point dans le repère canonique sont .
Etant donné deux points et , on posera . Cette écriture est cohérente avec les conventions précédentes, comme le montre la relation existante entre les coordonnées du vecteur et celles des points et .
De façon équivalente, on pourra écrire :

Plus généralement, si désigne un entier naturel non nul, ( ) une famille de scalaires et ( ) une famille de points, l'expression désignera le point (ou, selon le contexte, le vecteur) dont les coordonnées sont données conformément à cette expression. En particulier, si le -uplet ( ) vérifie , l'expression désigne le barycentre des points affectés respectivement des poids .

Le candidat remarquera qu'avec ces conventions, la propriété d'associativité du barycentre s'exprime d'une façon très simple et naturelle.

Pour tout entier , on note l'ensemble des -uplets de points du plan.
Autrement dit, .
On ne fera pas de différence entre et le plan .
Par ailleurs, on note l'ensemble des courbes paramétrées de la forme

avec et fonctions continues du paramètre .
On définit par récurrence une suite d'applications en posant:

L'arc paramétré

est appelé la courbe de Bézier associée aux ( ) pôles .
Afin d'alléger la notation, pour toute famille , la courbe de Bézier associée aux ( ) pôles sera le plus souvent notée ou même .

De façon générale, et sauf mention explicite du contraire dans l'énoncé, on ne fera pas appel aux coordonnées des points.

I.1/ Cas .

Soit .
I.1.1/ Exprimer, en fonction du paramètre et des points et , le point courant de la courbe de Bézier associée à la famille , c'est-à-dire le point .
I.1.2/ Quelle est la trajectoire de l'arc paramétré ?
I.2/ Cas .

Soit .
I.2.1/ Soit, pour le milieu de et . Montrer que est le milieu de et .
I.2.2/ Déterminer et .
I.2.3/ Exprimer en fonction de le point courant comme barycentre des trois pôles et , avec des coefficients dont la somme fait 1 .
I.2.4/ On suppose et .
I.2.4.1/ Calculer ; en déduire la nature de la trajectoire de l'arc paramétré .
I.2.4.2/ Tracer la trajectoire de . (on prendra ( ) orthonormé avec une unité de longueur de 4 cm ).

II.1/ On rappelle qu'une partie non vide du plan est convexe si et seulement si

II.1.1/ Montrer qu'une partie non vide du plan est convexe si et seulement si

II.1.2/ Soit une partie non vide du plan, et soit un ensemble non vide de parties convexes du plan contenant . Montrer que l'intersection de tous les convexes appartenant à , c'est-à-dire , est un convexe contenant .
Dans la suite, pour toute partie non vide du plan, on note l'enveloppe convexe de , c'est-à-dire l'intersection de toutes les parties convexes du plan contenant .
II.1.3/ Soit une partie non vide du plan. Montrer l'équivalence

II.1.4/ Soient et deux parties non vides du plan. Prouver l'implication

II.1.5/ Soit une partie non vide du plan. Montrer que
et
Dans la suite, pour tout entier naturel et toute famille de points , on notera encore l'enveloppe convexe des points formant la famille .
II.1.6/ Démontrer, par récurrence sur , que pour tout entier naturel et toute famille , la trajectoire de est incluse dans .

II.2.1/ Soit une transformation affine du plan. Démontrer, par récurrence sur , que pour tout entier naturel et toute famille , on a

où désigne la famille obtenue en appliquant à chacun des points de la famille .
II.2.2/ Soit un triangle quelconque , non aplati; en s'aidant de la question I.2.4, tracer à main levée la courbe de Bézier associée, et justifier le tracé. Déduire également de la question I .2.4 la nature de cette courbe.

III.1/ Fonctions de mélange.
III.1.1/Démontrer, par récurrence sur , que pour tout entier naturel il existe fonctions polynômes , de degré inférieur ou égal à , telles que, pour toute famille , on ait

On ne cherchera pas dans cette question III.1.1 à exprimer explicitement les fonctions (appelées fonctions de mélange).

Au cours de la démonstration demandée, le candidat mettra en évidence la relation entre et vérifiée lorsque , ainsi que la relation entre et et celle qui a lieu entre et .
III.1.2/ Pour cette seule question, on prend . Déterminer les polynômes pour .
III.1.3/ désigne à nouveau un entier naturel non nul quelconque. Déterminer, pour tout , une formule simple exprimant en fonction de , de et de .

Pour tout , on pose .
III.1.4/ Déterminer .
III.1.5/ Déterminer, en fonction de et , la valeur de (on pourra faire une intégration par parties).
III.2/ Soit et . On note la famille obtenue à partir de en inversant l'ordre des pôles : .
III.2.1/ Quelle relation a-t-on entre et ?
III.2.2/ Comparer les trajectoires respectives de et de .

IV. Soit et .

Soit l'espace vectoriel réel des polynômes à deux variables notées et , de degrés partiels inférieurs ou égaux à .
Autrement dit, les éléments de sont de la forme , avec pour tout .
Les monômes de la forme constituent une base de , dite base canonique de .
A tout , on associe l'application linéaire caractérisée par l'image des vecteurs de la base canonique :

Par ailleurs, pour tout couple d'entiers naturels tel que , on pose :

IV.1.1/ Trouver un polynôme , dont on donnera l'expression en fonction de et , tel que pour tout couple d'entiers naturels tel que , on ait :

On pourra faire une démonstration par récurrence sur .
IV.1.2/ Utiliser le résultat précédent pour retrouver la formule de la question III.1.3.
IV.1.3/ Déterminer et .
IV.1.4/ Soit . Vérifier que .
IV.1.5/ Exprimer le vecteur dérivé à l'aide des points et .
IV.1.6/ On suppose les pôles deux à deux distincts. Déterminer la droite tangente à la trajectoire de au point de paramètre ; même question en .
IV.1.7/ Dérivée -ième.
IV.1.7.1/ désignant le polynôme introduit à la question IV.1.1, déterminer, pour tout , la dérivée partielle . On laissera l'expression demandée sous forme factorisée.
IV.1.7.2/ Pour tout , exprimer en fonction des pôles le vecteur dérivé -ième de en , c'est-à-dire le vecteur . Constater que ce vecteur ne dépend que des premiers pôles de la famille .
IV.2/ Dans cette question, on prend et . Montrer que la courbe de Bézier associée à cette famille de pôles est symétrique par rapport à (on pourra exploiter le résultat de la question II.2.1), puis tracer cette courbe.
On travaillera sur papier millimétré, avec une unité de 5 cm . Le tracé s'appuiera en particulier sur les tangentes à la courbe aux points de paramètres .

Soit une famille de points du plan et une famille de réels deux à deux distincts pris dans l'intervalle . Pour tout les coordonnées de seront notées ( ).
Par ailleurs, soit . La présente partie vise à aborder le problème de la détermination d'une famille de pôles telle que la courbe de Bézier s'approche au mieux des points . Plus précisément, on pose

où désigne la distance euclidienne canonique sur , et l'on cherche tel que :

Afin de travailler avec une fonction de plusieurs variables réelles, on identifie et grâce à la bijection :

et la recherche d'un minimum pour revient à celle d'un minimum de , où l'on a posé :

V.1/ Montrer que est une application de classe sur .
V. Exprimer la dérivée partielle en fonction des variables , de l'indice ,
Donner de même l'expression de .
V. Déterminer une matrice carrée non nulle d'ordre , un vecteur colonne et un vecteur colonne tel que si minimise la fonction , alors les vecteurs colonnes et vérifient les systèmes linéaires

Bien entendu, l'expression de et ne doit faire intervenir ni les ni les .

Dans le cas où est inversible, on dispose ainsi d'un procédé pour déterminer la famille cherchée, car on peut alors démontrer par un argument topologique que cette famille minimise effectivement la fonction . En pratique, les choses sont en fait un peu plus complexes, car on ne dispose généralement que des points mais pas des valeurs .