CCINP Mathématiques 2 PSI 2007

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet comporte 6 pages.

On désigne par l'ensemble des nombres réels, par l'ensemble des nombres entiers naturels et par l'ensemble privé de 0 .
Pour entier naturel non nul, on note (respectivement ) l'espace vectoriel réel des matrices carrées à lignes (respectivement l'espace vectoriel des matrices colonnes à lignes) à coefficients réels.
On note le déterminant d'une matrice carrée et la transposée d'une matrice quelconque.
Étant donné une matrice , la notation signifie que est le coefficient de la ligne et de la colonne de la matrice .
Lorsque est une matrice de , on identifie la matrice avec le réel .
Pour tout entier naturel , on note la factorielle de , avec la convention .
Soient et deux entiers naturels tels que :

Le produit scalaire de deux vecteurs et d'un espace préhilbertien sera noté .

Dans ce problème, on définit la matrice de Gram d'une famille finie de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.
La première partie porte sur des calculs de déterminants, la valeur d'un des déterminants calculés servant à illustrer la quatrième partie.
Dans la deuxième partie, on définit les matrices de Gram et on en étudie quelques propriétés.
Les troisième et quatrième parties sont des applications de la deuxième partie.

Les résultats de cette partie ne serviront que dans la partie IV.

Soit . Pour , on note la matrice carrée de dont le coefficient de la ligne et de la colonne est égal à avec .

On note .
I.1.1. Expliciter les entiers et tels que pour les quatre coefficients , et .
I.1.2. Pour tout entier naturel calculer les déterminants et .
I.1.3. On suppose que la matrice possède au moins deux lignes. On note la ligne d'indice .
I.1.3.1 Dans le calcul de on effectue les opérations suivantes : pour variant de à 2 , on retranche la ligne à la ligne (opération codée : ). Déterminer le coefficient d'indice ( ) de la nouvelle ligne .
I.1.3.2 En déduire une relation entre et , puis en déduire .

Pour , on note le déterminant de la matrice carrée de dont le coefficient de la ligne et de la colonne est !, les lignes et les colonnes étant indexées de à .

On note . Avec les mêmes notations, on note pour .
I.2.1. Calculer les déterminants et .
I.2.2. Donner une relation entre et .
I.2.3. En déduire puis .

A) Soit .
II.A.1. Soit une matrice carrée de . Pour tout entier , on note la matrice colonne de dont tous les coefficients sont nuls, sauf le coefficient de la ligne qui vaut 1 .
II.A.1.1. Pour , déterminer le produit .
II.A.1.2. En déduire que si et seulement si pour tout couple de on a .

Soit un espace euclidien de dimension et soit une base de . Soit la matrice carrée de telle que le produit scalaire de et .
Pour tout vecteur de , on note avec la même lettre majuscule la matrice colonne des composantes du vecteur relativement à la base .
II.A.2. Pour tout couple de vecteurs de , justifier l'égalité .

Soit une autre base de et soit la matrice carrée de avec . On note la matrice de passage de la base à la base .
II.A.3. Pour tout vecteur de , on note la matrice colonne des composantes du vecteur relativement à la base .
II.A.3.1. Soit un vecteur de . Donner une relation entre les matrices et .
II.A.3.2. Justifier l'égalité .
II.A.3.3. Que devient l'égalité précédente lorsque est une base orthonormale ?
II.A.3.4. Montrer que la matrice est inversible et que .
II.A.3.5. Déduire des résultats précédents que si est une famille libre de vecteurs d'un espace préhilbertien réel, la matrice de de coefficients les produits scalaires , vérifie .
B) Soit .

Dans un espace préhilbertien réel , on considère vecteurs quelconques . Soit la matrice de de coefficients les produits scalaires . À toute matrice colonne de , on associe le vecteur .
II.B.1. Dans cette question on suppose .
II.B.1.1. Montrer que .
II.B.1.2. À quelle condition sur la famille est-elle libre ?

On revient au cas général où est quelconque dans .
II.B.2. Exprimer les coefficients de la matrice en fonction des produits scalaires .
II.B.3. En déduire l'égalité où est la norme du vecteur .
II.B.4. Soit une valeur propre (complexe) de la matrice . Justifier que appartient à . Montrer que .
II.B.5. Montrer que si et seulement si est le vecteur nul.
II.B.6. On suppose que la matrice est inversible, déduire de la question précédente que la famille ( ) est libre.

Définition : Etant donné vecteurs d'un espace préhilbertien réel , on appelle matrice de Gram des vecteurs , la matrice de de coefficients les produits scalaires .
Il résulte de la partie II que la famille est libre si et seulement si ; dans ce cas, on a .

Dans cette partie, est l'espace euclidien supposé orienté, sont trois vecteurs unitaires de . On note les réels de tels que , et on suppose que .
III.1. Déterminer les racines du polynôme .
III.2. En déduire une factorisation de en produit de deux facteurs.
III.3. Montrer que est compris entre et .
III.4. Montrer que si et seulement si ou .
III.5. On suppose que et on note .
III.5.1. Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice . En déduire ses valeurs propres.
III.5.2. Déterminer la plus petite valeur possible de .
III.5.3. On prend .
III.5.3.1. Quelle est la valeur de ?
III.5.3.2. Déterminer le noyau de l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice . En utilisant II.B.5, retrouver la valeur de .

Soit un entier naturel avec .
On considère vecteurs d'un espace préhilbertien réel .
IV.1. Opérations sur les vecteurs d'une matrice de Gram. Soit .
IV.1.1. Exprimer en fonction et .
IV.1.2. Exprimer en fonction .
IV.2. Soit le sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs .
IV.2.1. Soit un vecteur de orthogonal à . Exprimer en fonction de et de .
IV.2.2. Soit , on note la distance du vecteur au sous-espace vectoriel . Montrer l'égalité .
IV.3. Calcul de la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel.
IV.3.1. Pour , justifier la convergence des intégrales et calculer leur valeur.

On rappelle (et on admettra) que , l'espace vectoriel réel des polynômes à coefficients dans , est un espace préhilbertien réel pour le produit scalaire .
On considère la base de formée des vecteurs où .
IV.3.2. Calculer les produits scalaires .
IV.3.3. Soit . Déduire des questions précédentes et de la partie I, la distance du vecteur au sous-espace vectoriel des polynômes de degré de l'espace .

Fin de l'énoncé.