N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet comporte 4 pages.

Pour tout polynôme , on note encore la fonction polynomiale associée définie sur . On rappelle qu'un polynôme est dit unitaire si le coefficient du terme de plus haut degré est égal à 1 .
Objectifs : on se propose d'étudier une famille de polynômes et leurs racines. Dans une première partie, on introduit une famille de polynômes vecteurs propres d'un endomorphisme de . L'objet de la seconde partie est l'étude, dans un cas particulier, d'une famille de polynômes orthogonaux. Enfin, dans la dernière partie, on étudie les valeurs propres d'une matrice pour démontrer une propriété des racines de ces polynômes.

Dans cette partie, on pose :

On considère l'application définie par :

I.1.1 Montrer que, pour tout entier , la restriction, notée de à , définit un endomorphisme de .
I.1.2 Montrer brièvement que :

définit un produit scalaire sur . Vérifier que .

I.2.1 Soient et deux polynômes. Déterminer deux polynômes et tels que :

En déduire que pour tout entier , l'endomorphisme est auto-adjoint.
I.2.2 Ecrire la matrice de dans la base canonique et en déduire les valeurs propres de .
I.2.3 Montrer qu'il existe une base de formée de vecteurs propres de unitaires tels que pour tout .
I.2.4 Montrer que si alors . En déduire que est dans l'orthogonal de .
I.2.5 Expliciter les polynômes et , puis déterminer leurs racines.

II. 1 Une relation de récurrence Soit un entier.

Justifier l'existence d'un réel tel que :

II. 2 Dans cette question, on suppose

En calculant , pour tout polynôme (avec ), montrer que .
II. 3 Montrer que pour tout entier , il existe et , tels que :

Calculer de façon directe et .
II. 4 Montrer que pour tout entier , on a :

En déduire que admet au moins une racine d'ordre impair dans .
II. 5 Soient , les racines distinctes d'ordre impair de dans ] [ et soit le polynôme . En considérant , montrer que a racines simples dans (on pourra raisonner par l'absurde et calculer en supposant ).

Pour tout entier , on considère la matrice :

III.1.1 On pose et, pour tout entier . Calculer . Exprimer en fonction de et de pour et pour .
III.1.2 Déterminer, pour tout entier , une relation entre et .
III.1.3 En déduire que toutes les racines de sont réelles (résultat déjà démontré en II.5).
III. 2 Valeurs propres de On considère comme la matrice d'un endomorphisme de , muni du produit scalaire usuel (noté ), dans la base canonique. On note , les valeurs propres de et ( ) une base orthonormée de vecteurs propres de , tels que .
III.2.1 Soit le sous-espace vectoriel de engendré par ( ). Montrer que sur la sphère unité de , l'application atteint un maximum et le calculer.
III.2.2 Soit le sous-espace vectoriel de engendré par ( ). Montrer que sur la sphère unité de , l'application atteint un minimum que l'on calculera.
III. 3 Une expression des valeurs propres Soit un sous-espace vectoriel de de dimension . Montrer que et que si vérifie , alors . En déduire que :

III. 4 Une démonstration analogue montre, ce que l'on admettra, que :

III.4.1 On note les valeurs propres de . En utilisant ce qui précède, montrer que pour tout , on a et .
III.4.2 En déduire que :

III.4.3 Soit un entier strictement positif. On sait que admet racines distinctes rangées par ordre croissant dans l'intervalle [. Montrer que pour tout , le polynôme admet une racine dans chaque intervalle .