Version interactive avec LaTeX compilé

CCINP Mathématiques 2 TSI 2002

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile

0.0(0 votes)

GéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)

🔗 Explorer

CCINP TSI CCINP 2002 TSI Maths Maths 2002

2025_08_29_5bd4908036aa00b994a4g

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 3 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le problème comprend quatre parties très largement indépendantes, autour de la Lemniscate de Bernoulli: étude d'une proprićté angulaire et équation différentielle associée, représentation graphique, calcul de l'aire et expression de la longueur à l'aide de diverses intégrales, algorithme de calcul approché de la longueur par approximations polygonales.

PARTIE I

Dans cette partie, on cherche des courbes planes

birégulières dont les tangentes satisfont à une condition angulaire.
Les courbes seront définies par une équation polaire,

où

est de classe

sur un intervalle

, relativement à un repère (

) orthonormé direct du plan. On utilise les notations usuelles suivantes :

Le point

décrit la courbe ; il est défini par

désigne le vecteur unitaire de la tangente en un point

quelconque de la courbe

; les angles de vecteurs

sont définis par

.
Les courbes cherchées sont celles pour lesquelles, pour tout

, la tangente au point

cst orthogonale à la droite engendrée par le vecteur

Vérifier que la condition imposée est équivalente à : modulo .
En déduire que cette condition est vérifiée si et seulement si est une solution non nulle de l'équation différentielle .
De quel type est l'équation différentielle ? Citer précisément le théorème de résolution correspondant à ce type d'équation (structure et expression de l'ensemble des solutions). Résoudre l'équation différentielle sur l'intervalle .
On note la solution de sur qui vérifie la condition initiale ( réel non nul), et on note la courbe d'équation polaire . Par quelle transformation géométrique la courbe est-elle l'image de la courbe et réels distincts non nuls)?
L'équation différentielle a-t-elle des solutions non nulles définies sur tout l'ensemble ?
On admet que toute solution de sur est développable en série entière.
6.1. Déterminer, par identification dans l'équation différentielle , les termes de degré inféricur ou égal à trois de la solution (telle que ).
6.2. Donner les développements limités en 0 à tout ordre de et de , et retrouver les résultats de la question précédente par une autre méthode.
6.3. Calculer les valeurs en 0 des trois premières dérivées de .

PARTIE II

Soit la courbe d'équation polaire pour , dans le repère orthonormé direct ( ).
1.1. Étudier et représenter graphiquement la courbe (unité ). Préciser les prolongements par continuité en et l'existence d'une demi-tangente en ces points.
1.2. Déterminer et dessiner les points à tangente horizontale ou verticale.
1.3. Déterminer et dessiner le repère de Frénet, ainsi que le centre et le cercle de courbure au point d'angle polaire .
Justifier la convergence de l'intégrale .
On définit la longueur de comme la limite, si elle existe, quand tend vers , de la longueur de la restriction de à l'intervalle . Démontrer que existe et que .
Montrer que peut s'écrire sous l'une des deux formes suivantes :
4.1. .
4.2. (on pourra poser ).
Calculer l'aire du domaine intérieur à en utilisant la formule et un passage en coordonnées polaires.

PARTIE III

Pour quelles valeurs des réels et l'intégrale est-elle convergente?
Vérifier que .
Fn posant , prouver que

Montrer que .

PARTIE IV : algorithmique

Préciser quel est le logiciel de calcul formel que vous avez étudié pendant votre préparation au concours et utiliser son langage pour la question 2.
On se propose de calculer une valeur numérique approchée de

par une méthode géométrique (approximations polygonales).

Pour tout entier supérieur ou égal à 1 , et tout entier compris entre 0 et , on note le point de d'angle polaire , et la somme des longueurs des segments pour variant de 1 à , c'est-à-dire , pour la norme euclidienne usuelle de .
1.1. Pour , calculer les coordonnées cartésiennes des deux points et , et dessiner le segment . Calculer .
1.2. Pour , calculer les coordonnées cartésiennes des trois points , et dessiner les deux segments et . Donner une valeur numérique approchée de .
1.3. Pour , dessiner les segments pour .
Écrire un algorithme (ou une procédure ou un programmc) qui calcule et affiche les valeurs numériques approchées des premiers termes de la suite , jusqu'au plus petit entier vérifiant .

Fin de l'énoncé