NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Soit

un nombre réel et

une fonction continue de

dans

.
On note (

) l'équation différentielle suivante :

On désigne par :

l'ensemble des fonctions de la variable deux fois dérivables de dans solutions de l'équation différentielle ( ).
l'ensemble des fonctions éléments de telles que .

Partie A

A.1.) On suppose dans cette question que la fonction

est nulle sur

et que le réel

est nul. Déterminer l'ensemble

.
A.2.) On suppose dans cette question que la fonction

est nulle sur R .

Soit

un réel strictement positif, déterminer l'ensemble

lorsque :

A.2.a.) .
A.2.b.) .
A.3.) On suppose dans cette question que le réel est nul.

Soit

un entier naturel non nul, déterminer l'ensemble

lorsque :

A.3.a.) .
A.3.b.) .
A.4.) On suppose toujours que le réel est nul et on désigne par un élément quelconque de .
A.4.a) Montrer que :

A.4.b) En déduire que l'ensemble admet un unique élément noté . Déterminer .

Dans toute la suite de cette partie, on désigne par

la fonction définie de

dans lui-même qui, à la fonction

, associe

, unique élément de

.
A.5.a.) Montrer que l'application

est un endomorphisme de

.
A.5.b.) L'endomorphisme

est-il injectif ? surjectif ?
A.5.c.) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de l'endomorphisme

Partie B

B.1.) On définit la fonction

dans

par :

B.1.a.) Montrer que la fonction

est paire, de période

, continue et de classe

par morceaux.
B.1.b.) Représenter graphiquement la courbe représentative de la fonction

sur

dans un repère orthogonal (

).
Unité graphique

.
B.1.c.) Justifier avec soin que la fonction

est somme de sa série de Fourier.
B.1.d.) Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction

et montrer que :

B.2.a.) Soit

une fonction continue, de période

dans

, on note

ses coefficients de Fourier.
Donner la formule de Parseval pour la fonction

.
B.2.b.) En déduire que :

Partie C

On se propose de résoudre l'équation différentielle (

) dans le cas particulier où

est un élément de

, soit :

C.1.) Déterminer l'ensemble des fonctions deux fois dérivables de

dans

solutions de l'équation différentielle:

C.2.) On définit la fonction

de R dans R par :

C.2.a.) Montrer que :

C.2.b.) Montrer que la fonction

est deux fois dérivable sur R et expliciter

.
C.2.c.) En déduire que la fonction

est une solution particulière de (

).
C.3.) Déterminer l'ensemble des fonctions deux fois dérivables de

dans

solutions de l'équation différentielle

.
C.4.) On suppose dans cette question que

.
C.4.a.) Déduire de la partie B que :

C.4.b.) Soit

un nombre réel et

un entier naturel, calculer :

C.4.c.) On admet avoir le droit de permuter série et intégrale.

Montrer que :

C.4.d.) Déduire de la question B.2.b.) que :

C.4.e.) Calculer

.
C.4.f.) Déduire l'ensemble

des solutions de l'équation différentielle

puis l'ensemble

des éléments de

s'annulant en 0 et

Partie D

On considère l'équation différentielle :

D.1.) Soit

une application deux fois dérivable sur

telle que

. Exprimer à l'aide des applications

les dérivées première et seconde de l'application

.
D.2.) Montrer que l'application

est solution sur

de l'équation différentielle (

) si, et seulement si, l'application

est solution sur

d'une équation différentielle à préciser, que l'on notera

.
D.3) Résoudre (H). En déduire l'ensemble des solutions de (F).
D.4.) Déterminer l'unique solution du système suivant :