CCINP Mathématiques 2 TSI 2011

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On étudie dans ce sujet certains endomorphismes de l'espace vectoriel euclidien orienté usuel. On se propose, entre autres, de reconnaître parmi ceux-ci les endomorphismes de référence : projections orthogonales, réflexions, rotations etc.

On notera la base canonique de .
Conformément à l'usage, les candidats pourront identifier les vecteurs ( ) de et les matrices colonnes à trois coefficients réels .
On pourra ainsi considérer que et .

Pour tous nombres réels et , on considère la matrice ,
désignera l'endomorphisme de l'espace vectoriel euclidien orienté usuel ayant pour matrice dans la base canonique de .

On notera :
la matrice unité de et Id l'endomorphisme identité de ;
le plan vectoriel de d'équation, dans la base canonique, ;
et la droite vectorielle orthogonale à .

Les parties ne sont pas indépendantes. En particulier, l'étude des valeurs propres, faite dans la partie III, intervient dans la partie IV.

On pose et .
) Construction d'une base orthonormale directe
1.a) Montrer que est un vecteur unitaire (c'est-à-dire de norme 1) dirigeant la droite .
1.b) Montrer que est un vecteur unitaire appartenant au plan .
1.c) Déterminer un vecteur de sorte que soit une base orthonormale directe de .
) Soient et des réels.
2.a) Préciser et en déduire que le réel est une valeur propre de .
2.b) Justifier que la famille ( ) est une base orthonormale de .
2.c) Vérifier que les vecteurs et appartiennent au plan .
2.d) Montrer que est stable par .

On rappelle qu'un sous-espace vectoriel de est stable par un endomorphisme quand pour tout de , son image par , c'est-à-dire le vecteur , appartient également à .

Les résultats de ce préliminaire peuvent être utilisés à de nombreuses reprises dans la suite du sujet.

) On note l'endomorphisme de canoniquement associé à .
3.a) Déterminer le rang de la matrice est-elle inversible?
3.b) Calculer le polynôme caractéristique de et montrer que n'est pas diagonalisable dans .
3.c) Donner la matrice de dans la base choisie au préliminaire ) (on pourra utiliser les calculs faits au préliminaire ou utiliser la formule de changement de bases et la calculatrice).
3.d) En déduire que l'endomorphisme est une rotation dont on précisera les éléments caractéristiques (axe orienté, angle).
) Dans cette question, on considère la matrice .
4.a) Préciser la matrice . Que dire du rang de ?
4.b) Justifier que l'endomorphisme de canoniquement associé à est une symétrie.

Préciser les sous-espaces propres et (associés respectivement aux valeurs propres 1 et -1 ).
4.c) En déduire sans calcul le polynôme caractéristique de .
) Dans cette question, on considère la matrice .
5.a) Déterminer le rang de la matrice est-elle inversible?
5.b) Calculer, en faisant apparaître le détail des calculs, le polynôme caractéristique de (on pourra commencer par l'opération élémentaire ).
5.c) Préciser chaque sous-espace propre de .
5.d) Justifier que est diagonalisable dans et reconnaître géométriquement l'endomorphisme de canoniquement associé à .

Dans cette partie, et désignent des nombres réels. On rappelle que .
On désignera par j le complexe où .
) Sans calculatrice, justifier : et .
) Préciser la matrice et exprimer la matrice à l'aide des matrices et et des réels et .
) Étude de dans
8.a) Déterminer les valeurs propres complexes de et montrer que est diagonalisable dans .
On rappelle que le polynôme caractéristique de a déjà été obtenu à la question 3.b).
8.b) Expliciter une matrice à coefficients complexes telle que soit une matrice diagonale à coefficients complexes que l'on précisera.
8.c) Montrer que .

Que vaut la matrice ?
) Soient et réels.
9.a) Déduire des questions ) et ) que est diagonalisable dans et que les valeurs propres complexes (éventuellement confondues) de sont :

9.b) Préciser les parties réelles et imaginaires de chacune des valeurs propres de en fonction de et .
9.c) Montrer que les valeurs propres de sont toutes réelles si, et seulement si, les réels et sont égaux.
) Dans cette question, on suppose que les réels et sont différents : .
Montrer que la matrice n'est pas diagonalisable dans .
) Dans cette question, on suppose que les réels et sont égaux : .
On rappelle que est l'endomorphisme de canoniquement associé à la matrice de .
11.a) Déterminer les valeurs propres de , ainsi que les sous-espaces propres associés (on envisagera les deux cas : et ).
11.b) Montrer que est diagonalisable et plus précisément qu'il existe une matrice à coefficients réels orthogonale telle que pour tous réels et , la matrice soit diagonale.
Expliciter une telle matrice (on pourra utiliser 1.c)), ainsi que la matrice obtenue.

) Soient et des nombres réels.
12.a) À l'aide de la partie précédente, montrer que : admet deux valeurs propres réelles distinctes si, et seulement si, ( et ).
12.b) Déterminer les valeurs des réels et pour lesquelles l'ensemble des valeurs propres de est exactement .
12.c) En déduire l'équivalence des deux assertions (i) et (ii) ci-dessous :
(i) est un projecteur de autre que l'identité et l'application nulle
(ii) ou

Préciser les éléments caractéristiques des deux projecteurs obtenus.