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CCINP Mathématiques 2 TSI 2013

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Algèbre linéaireGéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Réduction
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Banque
CCINP
Année
2013
Filière
TSI
Matière
Maths
CCINP TSICCINP 2013TSI MathsMaths 2013
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Les deux parties et de ce problème peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A : un arc de cercle apparent

On se place dans un plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct ( ).
Soit le cercle de centre O et de rayon 1 et le point où .
On cherche l'ensemble des points du cercle visibles du point A .
Définition : on dit qu'un point du cercle est visible du point A lorsque pour tout , point d'intersection du cercle et de la droite (AM), on a : .
Sur la figure 1, l'ensemble des points du cercle visibles du point A est en trait plein tandis que la partie non-visible du cercle est en pointillé. Les deux points distincts et d'abscisses respectives et sont sur le cercle . Les points et A sont alignés. Le point est visible du point A car il n'y a pas d'autre point du cercle sur le segment alors que le point ne l'est pas car le point est sur le segment , ce qui se vérifie par la condition : .
figure 1 : une illustration graphique
Pour , on note le point de coordonnées ( ).
De plus, on pose : .
  1. Soit . Justifier que le point est sur le cercle .
  2. (a) Justifier l'existence de et que : .
    (b) Donner les coordonnées des vecteurs et , en fonction des réels et .
    (c) Exprimer en fonction de .
    (d) Établir que la droite est tangente au cercle .
On pourra utiliser un produit scalaire.
On considère la fonction définie par : .
3. (a) Montrer que cette fonction est bien définie sur et est de classe .
(b) Étudier la parité de la fonction .
(c) Soit . Donner une expression de en fonction de et de .
(d) En déduire que est strictement décroissante sur l'intervalle et est strictement croissante sur l'intervalle .
(e) Donner le tableau des variations de la fonction sur .
On ne cherchera pas à calculer .
4. Soit une droite passant par A coupant le cercle en au moins un point.
Montrer que admet une équation de la forme : où .
Pour , on note , la droite d'équation : .
5. Soit et deux réels. Montrer que : si et seulement si .
6. Montrer que les points et sont sur la droite , puis après avoir comparé leurs abscisses, que le point est visible du point A alors que le point ne l'est pas.
On rappelle qu'un cercle et une droite se coupent en au plus deux points.
7. Soit deux réels et tels que : et .
(a) Montrer que les points et sont alignés.
(b) Prouver que le point est visible du point A alors que le point ne l'est pas.
(c) Justifier brièvement que : .
8. Soit . Établir que :
(a) si , alors le point est visible du point A .
(b) si , alors le point n'est pas visible du point A .
9. Sans justification, donner des résultats analogues à la question précédente pour .

Partie B : un contour apparent d'une quadrique

On se place dans un espace euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct .
Soit la surface d'équation : .
On considère les matrices et .
  1. Donner les valeurs propres de la matrice S . On détaillera les calculs.
  2. (a) Justifier, sans calcul, que l'on peut trouver une matrice diagonale et une matrice orthogonale telles que où désigne la transposée de la matrice .
    (b) Donner une matrice diagonale D et une matrice orthogonale telles que : . On pourra utiliser la calculatrice mais on explicitera la méthode utilisée.
  3. En déduire la nature de la quadrique .
On considère le plan d'équation : et la courbe , intersection du plan et de la surface .
4. (a) Soit un point de l'espace. Montrer que :
(b) Justifier que la courbe est une conique et que dans un repère orthonormé du plan noté , elle admet comme équation : .
On pourra utiliser la question de la partie . On ne cherchera pas à déterminer le point et les vecteurs et .
(c) Préciser la nature de la conique et les coordonnées de ses sommets dans le repère et représenter cette conique dans le plan muni de ce repère.
On considère les points et .
Définition : on dit qu'un point de la surface est visible du point A lorsque que pour tout , point d'intersection de la surface et de la droite (AM), on a : .
5. (a) Justifier que le point est sur la surface .
(b) Donner un système d'équations paramétriques de la droite (NA).
On pourra utiliser le point N et le vecteur pour le paramétrage de cette droite.
(c) Donner les coordonnées des points d'intersection de la droite (NA) et de la surface et en déduire que le point N n'est pas visible du point A .
On admet que la partie visible du point A de la surface est délimitée par une courbe constituée des points M tels que la droite (AM) soit tangente à la surface en M . Cette courbe est le contour apparent conique de la surface issu du point A .
On note alors l'ensemble des points M de la surface tels que A appartienne au plan tangent à la surface en M.
On considère la fonction définie sur par: .
6. Soit . Calculer .
7. On considère le point .
(a) Justifier que .
(b) On note le plan tangent en B à la surface .
Établir que le plan admet comme équation : .
On rappellera le lien entre le vecteur de coordonnées et ce plan.
(c) A-t-on : ? En déduire que : .
8. Soit , un point de coordonnées dans le repère .
Établir que le plan tangent noté en T à la surface admet comme équation :
  1. Conclure que la courbe est la conique .

Fin de l'énoncé

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