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CCINP Mathématiques 2 TSI 2014

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommables
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Banque
CCINP
Année
2014
Filière
TSI
Matière
Maths
CCINP TSICCINP 2014TSI MathsMaths 2014
2025_08_29_01d58836bc314f61ce3eg

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 3 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

La fonction Dilogarithme

Dans tout le problème, ln désigne le logarithme népérien.
On considère la fonction définie sur par :
Dans ce problème, on s'intéresse à la fonction Dilogarithme définie pour tout de par :
Dans la partie I, on calcule . La partie II est consacrée à une étude de la régularité de . Dans la partie III, on détermine le développement en série entière de et on déduit ensuite le prolongé de en 1. Dans la partie IV, on résout une équation différentielle.
Les différentes parties de ce problème ont un lien entre elles, mais peuvent être traitées séparément.

I. Calcul de

Soit , périodique de période , telle que :
Soit la somme de la série de Fourier de . On admet provisoirement l'existence de cette somme, existence qui sera démontrée à la question 4 .
  1. Représenter graphiquement la restriction de la fonction à l'intervalle .
  2. Calculer pour tout de , la valeur de .
  3. Montrer que pour tout .
  4. Pour quelles valeurs de , a-t-on l'égalité ? On précisera le théorème utilisé, et notamment ses hypothèses.
  5. En appliquant avec soin l'égalité de Parseval, en déduire que .

II. Régularité de la fonction

  1. Donner le développement limité de au voisinage de 0 à l'ordre 2 .
  2. En déduire que est continue en 0 .
  3. est-elle dérivable en 0 ? Si oui, préciser le nombre dérivé .
  4. Calculer pour tout de .
  5. Prouver que la fonction est de classe sur . (On pourra à nouveau utiliser la question 1. de cette partie)

III. Développement en série entière de

On rappelle la fonction Dilogarithme définie pour tout de par :
où la fonction est de classe sur (d'après la partie II).
  1. Dérivée de .
    1.a. Vérifier que la fonction est bien définie et de classe sur .
    1.b. Déterminer pour tout de .
  2. Développement en série entière de .
    2.a. Déterminer le développement en série entière en 0 de la fonction .
    2.b. En déduire le développement en série entière de la fonction sur .
  3. Prolongement par continuité de en 1 .
    3.a. Montrer que pour tout . Rappeler le théorème utilisé.
On rappelle le théorème radial d'Abel :
Soit une série entière de coefficients ( ), de rayon non nul et de somme .
On suppose que la série converge en un point tel que . Alors :
  • si , alors ,
  • si , alors .
    3.b. Vérifier que le développement de la question précédente est encore valable en .
    3.c. Montrer que admet un prolongement par continuité en 1.
On note désormais ce prolongement .
3.d. En déduire que l'intégrale impropre converge et que :
  1. Application 1.
On considère l'intégrale impropre .
4.a. Montrer que converge.
4.b. Calculer en fonction de la valeur de .
(On peut utiliser le changement de variable ).
5. Application 2.
5.a. Montrer que pour tout .
(On peut par exemple dériver les deux membres de l'égalité).
5.b. En déduire en fonction de la valeur de .

IV. Etude d'une équation différentielle

On se propose de résoudre dans l'équation différentielle :
où est une fonction réelle de la variable .
On considère sur l'équation différentielle :
où est une fonction réelle de la variable .
désigne un des deux intervalles ou .
1.
1.a. Donner la solution générale de l'équation homogène associée à sur .
1.b. Démontrer que les solutions de sur l'intervalle sont les fonctions de la forme : où est une constante réelle.
2. En déduire que les solutions de sur l'intervalle sont les fonctions de la forme : où et sont des constantes réelles.
3. Soit une solution éventuelle de l'équation sur .
3.a. Déterminer l'expression explicite de sur et sur .
3.b. En exprimant la continuité et la dérivabilité de en 0 , déterminer les solutions éventuelles de sur .
3.c. Vérifier que les fonctions ainsi déterminées conviennent.
Fin de l'énoncé
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