CCINP Mathématiques PC 2017

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

L'épreuve est constituée d'un problème en cinq parties largement indépendantes.

Lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, il est demandé au candidat d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

Soit . On pose .
On considère un automate qui génère successivement les lettres C ou P jusqu'à obtenir une certaine séquence prédéfinie.
On suppose que pour tout , l'automate génère la -ième lettre à l'instant de façon indépendante de toutes les générations précédentes. On suppose également qu'à chaque génération, les lettres P et C ont des probabilités et (respectivement) d'être générées. Suivant les parties considérées, on définit différents niveaux que l'automate peut atteindre.
On considère dans tous les cas que l'automate est initialement au niveau 0 . On se propose alors d'étudier essentiellement l'existence de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire correspondant au temps d'attente de la séquence prédéfinie à travers sa série génératrice.

Pour cette étude probabiliste, on mobilise diverses propriétés analytiques (surtout sur les séries entières) et quelques propriétés d'algèbre linéaire.

Dans les parties , II et , on examine le temps d'attente pour les séquences C puis CC , puis CPC et CCPPC. La partie II est indépendante de la partie et traite de questions préliminaires sur les séries entières qui seront investies dans les parties III et V. La partie IV est indépendante des parties précédentes et traite les questions préliminaires d'algèbre linéaire qui servent exclusivement dans la partie . La partie III ne dépend de la partie que par la question Q4 et de la partie II que par la question Q10. La partie V utilise seulement la question Q11 de la partie II et la partie IV.

Pour , on note l'évènement l'automate génère la lettre P à l'instant et l'évènement l'automate génère la lettre C à l'instant .

Dans cette partie, on dit que l'automate passe du niveau 0 au niveau 1 dès qu'il génère la lettre C . Si, en revanche, il génère la lettre P , alors il reste au niveau 0 . L'expérience s'arrête dès que l'automate a atteint le niveau 1 . On résume l'expérience par la figure 1 suivante :

On note l'instant où, pour la première fois, l'automate atteint le niveau 1. On admet que est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé telle que . On note la série génératrice de et son rayon de convergence.
On sait alors que et que:

Q1. Reconnaître la loi de et préciser en particulier pour .
Q2. Montrer que et que: .
Q3. Montrer que est 2 fois dérivable en 1 et que et .
Q4. Donner les valeurs de et de .

Soit et . Pour , on pose .
Q5. Montrer que est une série entière de rayon de convergence égal à .
Q6. Montrer que si , on a : .
Soit et des nombres complexes non nuls. Dans les questions à , on suppose que . On définit alors, pour tout et pour tout réel tel que .

Q7. Montrer que l'on a :

Q8. Trouver un équivalent simple de quand tend vers .
Q9. En déduire que le rayon de convergence de est égal à et que si , alors

Q10. Justifier que est développable en série entière au voisinage de 0 et que la série entière qui lui est associée possède un rayon de convergence tel que .

Soit et des nombres complexes non nuls. On suppose que : .
Pour tout réel tel que , on pose : .
Q11. Justifier que est développable en série entière au voisinage de 0 et que la série entière qui lui est associée possède un rayon de convergence tel que .

Dans cette partie, on suppose que l'automate passe du niveau 0 au niveau 1 en générant la lettre C . De même, l'automate passe du niveau 1 au niveau 2 en générant la lettre C . Si, en revanche, il génère la lettre P , alors qu'il est au niveau 0 ou 1 , il retombe au niveau 0 . L'expérience s'arrête dès que l'automate a atteint le niveau 2 , c'est-à-dire dès que l'automate aura généré la séquence CC . On résume l'expérience par la figure 2 suivante :

On note l'instant où, pour la première fois, l'automate atteint le niveau 2. Ainsi est le temps d'attente de la séquence CC.

On admet que est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( ) telle que . Pour tout , on note . On note la série génératrice de et son rayon de convergence. On rappelle que .

Q12. Calculer et .
Q13. Justifier que ( ) est un système complet d'évènements.
Q14. En déduire que pour tout , on a : .
Q15. En déduire que pour tout , on a : .
Pour , on note et .
Q16. Montrer que et que .
Q17. Montrer que, pour tout .
Q18. Montrer que .
Pour tout réel tel que , on définit .
Q19. Montrer à l'aide de la question Q10 que est développable en série entière au voisinage de 0 , que sa série entière associée est et que .

Q20. Montrer que, pour tout , on a : .
Q21. Montrer que admet une espérance et une variance puis que .
Q22. Vérifier, à l'aide des questions Q4 et Q21, que où est la variable aléatoire définie en partie .

Q23. Pouvait-on prévoir ce résultat ?

On considère les matrices et .
Soit . On note le polynôme caractéristique de , si bien que est le déterminant de .

Q24. Montrer que 0 est valeur propre de et donner un vecteur propre de associé à la valeur propre 0.

Q25. Trouver les réels et tels que, pour tout .
On dit que la matrice colonne est solution de lorsque .
Q26. Montrer que, pour tout est solution de si et seulement si .
Pour tout , on note le déterminant de la matrice .
Q27. Montrer que pour tout .
Q28. Vérifier que pour tout .
Q29. En déduire que, pour au voisinage de 0 , l'équation possède une unique solution .
Pour tout , on note la -ième colonne de . On note la base canonique de et on suppose que la matrice colonne est solution de .

Q30. Vérifier que .
Q31. En déduire que .
Q32. Montrer que, pour au voisinage de 0 , on a l'égalité :

On se propose de déterminer certaines propriétés des valeurs propres de . On note une valeur propre complexe non nulle de .

Q33. Montrer que est valeur propre de la matrice transposée de .

Q34. En déduire qu'il existe trois complexes non tous nuls , et tels que:

On considère désormais trois complexes non tous nuls et qui vérifient le système ( ). On note alors et on remarque que l'on peut toujours se placer dans l'un des trois cas suivants :
i) ;
ii) avec ;
iii) et .

Q35. Montrer, en distinguant ces trois cas, que .
Q36. Montrer l'existence de nombres complexes et tels que:

Q37. Montrer l'existence de nombres complexes et tels que :

Dans cette partie, on suppose que :

L'expérience s'arrête dès que l'automate a atteint le niveau 3 , c'est-à-dire dès que l'automate aura généré la séquence CPC .

Q38. Reproduire, sur votre copie, la figure 3 suivante en la complétant pour résumer l'expérience de cette partie .

Pour et , on note l'événement après avoir généré la -ième lettre, l'automate se trouve au niveau et l'événement l'automate se trouve initialement au niveau . On pose et pour tout , on définit .

On note l'instant où, pour la première fois, l'automate atteint le niveau 3 .
On admet que est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( ) telle que .
On remarque que la série génératrice de (notée ) est alors et on note son rayon de convergence. On rappelle que .

Q39. Déterminer et .
Q40. Montrer que pour tout , on a : .
Soit . On note la matrice colonne suivante : .
Q41. Montrer que .
Q42. Montrer que la matrice colonne est solution de l'équation définie en partie .
Q43. Montrer que et montrer que .
Q44. Montrer que admet une espérance et une variance.
Q45. Donner l'expression de en fonction de seulement.
Q46. Proposer une méthode permettant de déterminer le temps d'attente moyen de la première réalisation par l'automate de la séquence CCPPC : on précisera notamment le schéma des six niveaux correspondants et la matrice analogue à que l'on peut faire intervenir dans ce problème.