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CCINP Mathématiques PC 2020

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensIntégrales à paramètresCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généralisées
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CCINP
Année
2020
Filière
PC
Matière
Maths
CCINP PCCCINP 2020PC MathsMaths 2020
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Lundi 4 mai : 8 h-12 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1 Calcul de l'intégrale de Dirichlet

L'objectif de cet exercice est de démontrer la convergence de l'intégrale de Dirichlet :
et de calculer sa valeur. On considère la fonction définie par :
On définit également la fonction par :
Dans l'exercice, on pourra utiliser sans la démontrer l'inégalité valable pour tout .

Partie I - Préliminaires

Q1. Soit . Montrer que la fonction est intégrable sur .
Q2. En utilisant par exemple une intégration par parties, montrer que l'intégrale est convergente si et seulement si l'intégrale :
est convergente. En déduire que l'intégrale converge.
Q3. Soit . Montrer que est une primitive de la fonction sur .
Dans la suite de l'exercice, on définit la fonction par :

Partie II - Calcul de sur

Q4. Montrer que pour tout . En déduire la limite de en .
Q5. Soit . Montrer que la fonction est dérivable sur et que l'on a :
Q6. En déduire que la fonction est dérivable sur et déterminer une expression de pour tout . Conclure que :

Partie III - Conclusion

On considère les fonctions et définies par :
Q7. Montrer que la fonction est continue sur .
Q8. Soit . Montrer que la fonction est intégrable sur et que :
Q9. Montrer que la fonction est continue sur .
Q10. En déduire que la fonction est continue en 0 , puis déterminer la valeur de l'intégrale .

EXERCICE 2

Extremums d'une forme quadratique sur la boule unité fermée

On se donne un entier . On rappelle que la norme euclidienne usuelle sur est définie par :
On note la boule unité fermée de .
On fixe des réels pour et on considère l'application définie par :
L'objectif de cet exercice est d'étudier les extremums de la fonction sur la partie . On définit la matrice comme la matrice symétrique dont les coefficients ( ) vérifient :
Si est une matrice à coefficients réels, on note sa matrice transposée.

Partie I - Étude d'un exemple

Dans cette partie, on suppose que et que l'application est définie par :
Q11. Justifier que l'application admet un maximum et un minimum sur .
Q12. En étudiant la fonction , déterminer les extremums de l'application sur la frontière de .
Q13. Justifier que est de classe et déterminer les points critiques de l'application dans la boule unité ouverte de .
Q14. En déduire que le maximum de sur est 3 et que le minimum de sur est -1 .
Q15. Vérifier que la plus grande valeur propre de est égale au maximum de sur et que la plus petite valeur propre de est égale au minimum de sur .

Partie II - Le cas général

On ne suppose plus dans cette partie que .
On considère un vecteur et on note .
Q16. Montrer que .
Q17. Justifier que la matrice est diagonalisable dans .
Dans la suite, on note les valeurs propres de comptées avec leur multiplicité et on suppose que .
On fixe une matrice orthogonale telle que où :
On note .
Q18. Montrer les égalités .
Q19. On suppose que . Montrer que et en déduire que .
Q20. En déduire que si , alors et .
Q21. Dans le cas où , déterminer le maximum et le minimum de sur .

Partie III - Application des résultats

Dans cette partie, on suppose que et que l'application est définie par :
Q22. Déterminer le maximum et le minimum de l'application sur (on pourra commencer par déterminer le rang de la matrice où désigne la matrice identité de ).

EXERCICE 3

Retour à l'origine d'une marche aléatoire sur

Dans cet exercice, nous allons étudier le déplacement aléatoire d'un pion se déplaçant dans l'ensemble des entiers relatifs. À l'étape , on suppose que le pion se trouve en 0 . Ensuite, si le pion se trouve à l'étape sur l'entier , alors à l'étape , le pion a une chance sur deux de se trouver en et une chance sur deux de se trouver en , ceci indépendamment des mouvements précédents.
Pour modéliser cette situation, on se place sur un espace probabilisé ( ) et on considère une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes dont la loi est donnée par :
On considère également la suite de variables aléatoires réelles définie par et :
L'objectif de cet exercice est de déterminer la loi de la variable aléatoire définie de la façon suivante :
  1. si pour tout , on a , on pose ;
  2. sinon, on pose .
L'évènement ( ) se réalise donc si et seulement si l'ensemble est vide. Finalement, on définit les suites et par :

Partie I - Calcul de

On fixe un entier .
Q23. Que représente la variable aléatoire ?
Q24. Calculer et .
Q25. Justifier que si est impair, alors on a .
On considère pour tout la variable aléatoire définie par . On admet que est une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes.
Q26. Soit . Montrer que suit une loi de Bernoulli de paramètre .
Q27. Pour , donner la loi de et exprimer en fonction de .
Q28. On suppose que avec . Déduire de la question précédente que :

Partie II - Fonction génératrice de la suite

On note le rayon de convergence de la série entière et la somme de cette série entière sur son intervalle de convergence.
Q29. Montrer que .
Q30. Montrer que pour tout , on a :
Q31. Déterminer un nombre tel que pour tout .

Partie III - Loi de la variable aléatoire

On note le rayon de convergence de la série entière et la somme de cette série entière sur son intervalle de convergence. Pour tout , on considère également la fonction définie par pour tout .
Q32. Calculer et .
Q33. Montrer que la série converge normalement sur . En déduire que .
Dans la suite, on admet la relation :
Q34. En utilisant un produit de Cauchy et la relation admise ci-dessus, montrer que :
Q35. En déduire que pour tout [, puis calculer le développement en série entière de la fonction en précisant son rayon de convergence.
Q36. En déduire une expression de pour tout .
Q37. En utilisant Q33 et Q35, déterminer la valeur de . Interpréter le résultat.
Q38. La variable aléatoire admet-elle une espérance?

FIN

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