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CCINP Mathématiques PSI 2015

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Equations différentiellesSéries entières (et Fourier)Réduction
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CCINP
Année
2015
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2015PSI MathsMaths 2015
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont autorisées

Notations

  • désigne l'ensemble des réels et désigne l'intervalle .
  • Si est un intervalle réel non réduit à un point, on note l'espace vectoriel des fonctions de classe définies sur à valeurs dans .
  • Soit l'ensemble ou . Pour tout entier naturel non nul, désigne le -espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes et à coefficients dans .
  • Un vecteur de est noté :
  • Une matrice de est notée :
où est le coefficient de situé en ligne et colonne .
  • On dit qu'une application :
est de classe sur , si pour tout couple la fonction est de classe sur et dans ce cas, on note la matrice .
Soient un intervalle réel non réduit à un point et une fonction continue.
Dans ce problème, on s'intéresse au système différentiel :
où est une application de classe .

A l'exception de la question I. 2 utilisée tout au long du sujet, les trois parties sont indépendantes.

Partie I

Quelques exemples d'étude d'un système différentiel

I. 1 Qu'affirme le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire quant à la structure de l'ensemble des solutions de ?

I. 2 Vecteurs propres communs

On suppose qu'il existe un vecteur non nul et une fonction continue tels que pour tout on ait :
Montrer que la fonction :
est solution de si, et seulement si, la fonction est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre que l'on précisera et pour laquelle on donnera une expression des solutions.

I. 3 Un premier exemple

On suppose pour cette question que . Soient et deux complexes tels que . On suppose que, pour tout , on a :
Déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions de ( ).

I. 4 Un deuxième exemple

On suppose également pour cette question que . Soient une constante complexe et des fonctions continues de dans , la fonction ne s'annulant jamais sur . On suppose que pour tout réel , on a :
I.4.1 Traiter le cas particulier où .
I.4.2 Montrer qu'il existe deux vecteurs non nuls et dans et deux fonctions continues et de dans tels que pour tout on ait:
I.4.3 Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur pour que l'on ait:
On supposera cette condition vérifiée pour la question suivante.
I.4.4 Déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions de .

Partie II
Développement en série entière des solutions pour constante

II. 1 Norme matricielle induite

On se donne une norme vectorielle sur et on lui associe la fonction définie sur par :
II.1.1 Montrer que l'application définit une norme sur .
II.1.2 Montrer que, pour toutes matrices et dans , on a :

II. 2 Développement en série entière des solutions

II.2.1 On suppose pour cette question, que et que la fonction est constante.
Montrer que si est solution de ( ), elle est alors de classe sur et que pour tout entier naturel , on a :
(avec la convention que et ).
II.2.2 On note . Montrer que pour tout entier naturel et tout réel , on a :
II.2.3 Montrer que :
et en déduire que les coordonnées de sont développables en série entière sur .

II. 3 Un exemple

On suppose pour cette question, que , que et que la fonction est constante et égale à :
II.3.1 Calculer le polynôme caractéristique de .
II.3.2 Soit un entier naturel non nul.
Montrer que la famille est une base de , puis exprimer le reste de la division euclidienne de par dans cette base.
II.3.3 En déduire, pour tout entier , une expression de en fonction de , et .
II.3.4 Calculer et .
II.3.5 Préciser le rayon de convergence de la série entière :
ainsi que sa somme.
II.3.6 Soit . Déterminer la solution du problème de Cauchy linéaire

Partie III

Etude de deux fonctions

III. 1 L'intégrale de Gauss

III.1.1 Montrer que l'intégrale de la fonction est convergente sur .
III.1.2 Montrer que les fonctions et définies sur par :
sont de classe sur , puis préciser les dérivées d'ordre 1 de et de .
III.1.3 Montrer que :
et en déduire la valeur de .
III.1.4 Montrer que :
III.1.5 En déduire que :

III. 2 Les fonctions et

III.2.1 Montrer que les fonctions :
sont bien définies et de classe sur .
III.2.2 Montrer que la fonction est solution d'une équation différentielle, puis en déduire que :
est solution d'un système différentiel du premier ordre
où la fonction matricielle est à déterminer.
III.2.3 Déterminer, pour tout réel , les valeurs propres complexes et les sous-espaces propres de .
III.2.4 Déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions sur du système ( ) et en déduire la solution générale de .
III.2.5 Calculer et en déduire l'expression réelle de et de .

Fin de l'énoncé

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