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CCINP Mathématiques PSI 2016

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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CCINP
Année
2016
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2016PSI MathsMaths 2016
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES

Mardi 3 mai : -

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Notations et définitions

  • désigne l'ensemble des nombres réels et l'ensemble des nombres complexes.
  • Si sont deux entiers naturels non nuls, on désigne par [respectivement ] l'espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans [respectivement dans . Comme est contenu dans , une matrice à coefficients réels est aussi à coefficients complexes.
  • Si , on note [respectivement ] pour [respectivement ].
  • désigne la matrice identité de [respectivement ].
  • Si est une suite de matrices de , on dit que cette suite converge vers une matrice si, pour tout couple , la suite des coefficients d'indice ( ) de converge vers le coefficient, noté , d'indice ( ) de .
  • Un vecteur de [respectivement de ] est identifié à l'élément de [respectivement ].
  • Pour tout vecteur , on note .
  • Pour toute matrice , on désigne par l'ensemble de toutes les valeurs propres complexes de et on note :
On rappelle que est le rayon spectral de .
  • Si est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé telle que , on identifie la loi de au vecteur colonne .

Objectifs

L'objet de ce problème est d'étudier la suite des puissances d'une matrice stochastique. La première partie est consacrée à cette étude dans le cas où . Dans la seconde partie, on étudie le spectre des matrices stochastiques. Dans la troisième partie, on étudie l'existence d'une probabilité invariante par une matrice stochastique et la dernière partie est consacrée à l'étude des puissances d'une telle matrice.

Partie I

Cas

On suppose dans cette partie que et, pour et avec , on note :
Il pourra être utile de noter .

I. 1 Puissances de

Q1. Montrer que 1 est valeur propre de et déterminer le sous-espace propre associé.
Q2. Montrer que est diagonalisable dans et la diagonaliser.
Q3. Calculer, pour tout entier , la matrice .
Q4. Montrer que, pour , la suite converge vers une matrice que l'on précisera. Que se passe-t-il pour ?

I. 2 Application

Soient et deux réels de . Un message binaire de longueur , c'est-à-dire une suite finie où pour tout , est transmis dans un réseau formé de relais. On suppose que, à chaque relais, un élément est transmis avec une probabilité d'erreur égale à pour un passage de 0 à 1 et pour un passage de 1 à 0 . On note la variable aléatoire définissant le message initial de longueur et, pour , au -ième relais, le résultat du transfert est noté . On suppose que les relais sont indépendants les uns des autres et que les erreurs sur les bits constituant le message sont indépendantes.

Q5.

Montrer que pour tout entier :
Calculer, pour et .
Si , montrer que la probabilité pour que soit conforme à est supérieure ou égale à :

Q6. Cas

On pose où, pour est le résultat de la transmission du -ième bit au -ième relais. Soit la probabilité pour que le message soit conforme au message initial. Montrer que vérifie :
Q7. On suppose dans cette question que . Que peut-on dire dans ce cas de l'inégalité précédente?
Pour tout , déterminer un entier tel que la probabilité d'obtenir un message erroné au -ième relais soit supérieure ou égale à (on dit que est la taille critique du réseau).

Partie II

Spectre des matrices stochastiques

Dans cette partie, les matrices considérées sont carrées et d'ordre . On dit qu'une matrice est stochastique [respectivement strictement stochastique] si et seulement si elle est à coefficients positifs [respectivement strictement positifs] et :

II. 1 Coefficients

Q8. Soit une matrice stochastique [respectivement strictement stochastique]. Montrer que pour tous compris entre 1 et on a:
Q9. Montrer qu'une matrice à coefficients réels positifs est stochastique si et seulement si 1 est valeur propre de et le vecteur de coordonnées est un vecteur propre associé.
Q10. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques [respectivement strictement stochastiques] est une matrice stochastique [respectivement strictement stochastique].

II. 2 Valeurs propres

Soit une matrice stochastique.
Q11. Montrer que
Q12. Montrer que .

II. 3 Diagonale strictement dominante

Une matrice est dite à diagonale strictement dominante si et seulement si
Q13. Soit une matrice quelconque dans et soit une valeur propre de . Montrer qu'il existe un indice tel que :
Q14. Montrer qu'une matrice à diagonale strictement dominante est inversible.

II. 4 Valeur propre de module maximal

Soit une matrice strictement stochastique.
Q15. On désigne par la matrice extraite de en supprimant sa dernière ligne et sa dernière colonne. Montrer que la matrice est à diagonale strictement dominante. Que peut-on en déduire quant au rang de ?
Q16. Montrer que est de dimension 1 .
Q17. Soit . Montrer que .

Partie III

Probabilité invariante

On considère quatre points dans le plan numérotés de 1 à 4 . Une particule se déplace chaque seconde sur l'ensemble de ces points de la façon suivante : si elle se trouve au point , elle reste au point avec une probabilité égale à ou passe en un point de façon équiprobable.

III. 1 Une suite de variables aléatoires

On note une variable aléatoire de loi donnant la position du point en l'instant la position du point à l'instant et la loi de .
Q18. Montrer qu'il existe une matrice , que l'on déterminera, telle que :
Calculer en fonction de et de .
Q19. Montrer qu'il existe un unique vecteur , que l'on déterminera, tel que :

III. 2 Rapidité de convergence

Q20. Montrer sans calcul que est diagonalisable sur .
Q21. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de .
Q22. En déduire que converge vers une matrice que l'on précisera en fonction de et qu'il existe tel que :
En déduire que admet une limite indépendante de la loi de et interpréter le résultat obtenu.

Partie IV

Puissances d'une matrice stochastique

Soit une matrice strictement stochastique. On note :
Pour tout entier naturel non nul , on note le coefficient d'indice de :
Enfin, pour tout entier compris entre 1 et , on note :

Q23. Encadrement

Montrer que, pour tout entier naturel non nul et tout entier compris entre 1 et , on a :

Q24. Minoration

Montrer que, pour tout entier naturel non nul et tout entier compris entre 1 et , on a :

Q25. Majoration

Montrer que, pour tout entier naturel non nul et tout entier compris entre 1 et , on a :

Q26. Convergence de ces suites

En déduire que, pour tout entier compris entre 1 et , les suites et sont adjacentes.

Q27. Conclusion

En déduire que la suite converge vers une matrice stochastique dont toutes les lignes sont identiques.

FIN

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