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CCINP Mathématiques PSI 2017

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsGéométrieSuites et séries de fonctions
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CCINP
Année
2017
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2017PSI MathsMaths 2017
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES

Mardi 2 mai :
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants : un d'algèbre et un d'analyse.

PROBLÈME 1

Présentation générale

On se propose ici d'étudier certaines propriétés des matrices antisymétriques réelles. Après avoir étudié un exemple en dimension 2 , on utilise les matrices antisymétriques pour paramétrer un sousensemble des matrices orthogonales.

Notations

  • désigne l'ensemble des réels et, pour tout entier désigne l'ensemble des matrices à coefficients réels. On note la matrice identité de .
  • Pour tout entier , on désigne par l'ensemble des matrices antisymétriques à coefficients réels et par celui des matrices orthogonales à coefficients réels. Le groupe spécial orthogonal est constitué des matrices orthogonales de déterminant 1 .

Partie I - Un exemple en dimension 2

Q1. Soit un réel et soit . Déterminer les valeurs propres complexes de .
Q2. Calculer et montrer que est une matrice du groupe spécial orthogonal.
Q3. Pour tout réel , on note . Calculer .

Partie II - Matrices antisymétriques et matrices orthogonales

Dans ce qui suit, désigne un entier strictement positif.
Q4. Soient et deux matrices de . Montrer que si est inversible et , alors .
Q5. Soit une matrice antisymétrique. Soit une valeur propre complexe de et un vecteur propre associé. En calculant de deux façons
montrer que est un complexe imaginaire pur (éventuellement nul).
Q6. Déduire de la question précédente que si est antisymétrique réelle, alors est inversible et :
Montrer que est une matrice orthogonale.
Q7. Calculer le déterminant de .
Q8. Soit une matrice orthogonale telle que soit inversible. Démontrer que la matrice est antisymétrique.
Q9. On suppose ici que et que est muni de sa structure usuelle d'espace euclidien orienté par la base canonique. Soit une rotation d'angle autour d'un axe orienté par un vecteur de norme 1 et soit sa matrice dans la base canonique.
Montrer qu'il existe une matrice antisymétrique telle que :

PROBLÈME 2

Présentation générale

L'objet de ce problème est l'étude du phénomène de Gibbs. Dans la première partie, on démontre des lemmes de Riemann-Lebesgue. Dans la deuxième, on calcule l'intégrale de Dirichlet. Enfin, dans la troisième partie, on met en évidence le phénomène de Gibbs.

Notations

  • désigne l'ensemble des réels, désigne l'intervalle [ [ et désigne l'ensemble des nombres complexes.

Partie I - Résultats préliminaires

Dans ce qui suit, désigne une fonction continue -périodique telle que :
Q10. Si est une fonction de classe , montrer que :
Q11. Montrer que la primitive de s' annulant en 0 est -périodique et bornée sur .
Soient et deux réels tels que , déduire de ce qui précède que pour toute fonction de classe sur et à valeurs dans on a :
Q12. Soient et deux réels tels que et une fonction continue. Soient un réel strictement positif et une fonction de classe sur telle que , montrer qu'il existe une constante ne dépendant que de telle que :
En déduire que pour tout intervalle de et toute fonction continue par morceaux :
On pourra admettre et utiliser le théorème de Weierstrass qui affirme que pour tout segment avec et toute fonction continue , il existe une suite de fonctions polynomiales qui converge uniformément vers sur .
Q13. Soient et deux réels tels que et une fonction continue par morceaux. Déduire de ce qui précède que :

Partie II - L'intégrale de Dirichlet

Soit une fonction continue telle que la fonction soit bornée.
Q14. Montrer que, pour tout réel , les intégrales généralisées puis sont convergentes et que :
Q15. Montrer que les intégrales généralisées et sont convergentes et que:
Dans ce qui suit, on considère une fonction continue telle que soit absolument convergente.
Q16. Montrer que la fonction
est bien définie et continue sur .
Q17. On suppose de plus que la fonction est bornée. Montrer que la fonction est de classe sur et que tend vers 0 quand tend vers .
Q18. Soit .
  1. Montrer que la fonction est solution de l'équation différentielle
sur .
2. On cherche une solution particulière de (E) de la forme où les fonctions et sont de classe et vérifient :
Montrer que l'on peut prendre et où et sont des fonctions que l'on déterminera.
3. En déduire que est une solution de l'équation (E) sur .
4. Montrer qu'il existe tel que :
Q19. Montrer que tend vers 0 quand tend vers et en déduire que pour tout on a:
Q20. Montrer que tend vers 0 quand tend vers . En déduire que :
Q21. Déduire des questions précédentes que .

Partie III - Phénomène de Gibbs

Soit la fonction -périodique et impaire définie par :
On désigne par la suite de fonctions définie par :
Q22. En calculant la dérivée de , montrer que :
Q23. Montrer que, pour tout entier , on a :
En déduire la valeur de .
Q24. En déduire que tend vers 1 quand tend vers l'infini.
Q25. Calculer en fonction de . En utilisant le résultat de la question Q12, montrer que, pour tout , on a :
Q26. Déduire de ce qui précède que la suite converge simplement vers la fonction définie par (E.1) sur R.
Q27. Montrer que la suite de fonctions définie sur [ ] par
converge simplement sur vers la fonction définie sur par :
Q28. Montrer que est continue sur et en déduire que
puis que :
Q29. Montrer que
puis que :
Q30. Comparer
et montrer que :
En déduire que la suite de fonctions ne converge pas uniformément vers sur .

FIN

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