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CCINP Mathématiques PSI 2018

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementSéries entières (et Fourier)Equations différentiellesNombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
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CCINP
Année
2018
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2018PSI MathsMaths 2018
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Lundi 30 avril :
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants.

PROBLÈME 1

Ce problème comporte 3 parties indépendantes.

Notations et définitions

  • désigne l'ensemble des entiers naturels, désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.
  • désigne l'ensemble des nombres réels.
  • désigne le -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, pour tout entier , on note le -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à .
  • Si et sont deux entiers naturels, on note l'ensemble des entiers naturels compris (au sens large) entre et .

Objectifs

On s'intéresse dans ce problème à l'équation différentielle . La partie est une partie d'algèbre linéaire qui traite des solutions polynomiales de cette équation lorsque et sont des constantes réelles. Dans la partie II, on détermine l'ensemble des solutions de l'équation lorsque et sont des constantes réelles. La partie III traite des solutions de cette équation lorsque et est la fonction carrée.

Partie I - Endomorphismes

Dans toute cette partie, désigne un entier naturel non nul et et des constantes réelles.
Q1. On note l'endomorphisme de défini par :
Calculer, pour tout .
Q2. Montrer que pour tout , où Id désigne l'endomorphisme identité sur .
Q3. Montrer que si .
On notera l'endomorphisme de induit par .
Q4. Déterminer la matrice de dans la base canonique de .
Q5. On définit l'application par :
Montrer que et en déduire que définit un endomorphisme de .
Q6. Montrer que induit un endomorphisme de .
Q7. Montrer que est diagonalisable.
On considère l'endomorphisme de défini par :
Q8. Montrer que induit un endomorphisme de , endomorphisme que l'on notera . Exprimer en fonction de .
Q9. Exprimer la matrice de dans la base canonique de .
On considère l'équation :
Q10. Expliciter le noyau de lorsque l'équation (1) admet deux racines entières .
Q11. Expliciter le noyau de lorsque l'équation (1) admet une unique racine entière .
Q12. Déterminer le noyau de . En déduire qu'il est de dimension finie et déterminer sa dimension.

Partie II - Une équation différentielle

On considère dans cette partie l'équation différentielle
où et sont des constantes réelles.
Q13. Que déduit-on du théorème de Cauchy quant à la structure de l'ensemble des solutions de l'équation (2) sur ? Et sur ?
Q14. Montrer que si est une solution de (2) sur , alors est une solution sur de l'équation différentielle linéaire à coefficients constants :
Q15. Réciproquement, soit une solution de (3) sur . Montrer que la fonction ln est solution de (2) sur .
Q16. Donner les solutions à valeurs réelles de l'équation (3) dans le cas où et et dans le cas où et . En déduire, dans chacun des cas, les solutions à valeurs réelles de l'équation (2) sur l'intervalle .
On suppose dans les deux questions suivantes uniquement que et .
Q17. Montrer que si est solution de (2) sur , alors est solution de (3) sur .
Q18. Déduire de ce qui précède l'ensemble des solutions de (2) de classe sur .

Partie III - Une équation de Bessel

On se propose dans cette partie d'étudier l'équation différentielle :
Q19. Rappeler la définition du rayon de convergence d'une série entière.

Série entière dont la somme est solution de (4)

On suppose qu'il existe une série entière , avec , de rayon de convergence et dont la fonction somme est solution de (4) sur ] - .
Q20. Montrer que, pour tout , on a :
Q21. Déterminer le rayon de convergence de la série entière obtenue : .
Q22. Soit et soit une autre solution de (4) sur . Montrer que si ( ) est liée dans l'espace vectoriel des fonctions de classe sur , alors est bornée au voisinage de 0 .

Inverse d'une série entière non nulle en 0

Soit une série entière de rayon de convergence telle que . L'objectif de ce paragraphe est de montrer l'existence et l'unicité d'une série entière de rayon de convergence telle que pour tout appartenant aux domaines de convergence des deux séries :
Q23. Montrer que si est solution, alors la suite satisfait aux relations suivantes :
Soit un réel tel que .
Q24. Montrer qu'il existe un réel tel que pour tout :
Q25. Montrer que (5) admet une unique solution et que, pour tout :
On pourra raisonner par récurrence.
Q26. Que peut-on dire du rayon de convergence de la série entière ?

Ensemble des solutions de (4)

Q27. Soit et soit une fonction de classe sur . Montrer que la fonction est solution de (4) sur si et seulement si la fonction est de dérivée nulle sur .
Q28. Montrer que est somme d'une série entière dont on donnera le rayon de convergence. Que vaut ?
Q29. En déduire l'existence d'une fonction somme d'une série entière de rayon de convergence telle que
soit solution de (4) sur un intervalle .
Q30. En déduire l'ensemble des solutions de (4) sur .

PROBLÈME 2

Notations et définitions

  • désigne l'ensemble des entiers naturels, désigne celui des nombres réels.
  • Si est une variable aléatoire admettant une espérance, on note son espérance.
Soit ( ) un espace probabilisé. Soit une variable aléatoire discrète sur ( ), à valeurs dans . On considère dans ce problème une suite de variables aléatoires discrètes sur ( ), mutuellement indépendantes et de même loi que . Pour tout , on note :

Objectif

Montrer que si la variable aléatoire est centrée , alors la suite converge presquesûrement vers la constante 0 . Il s'agit d'un cas particulier de la loi forte des grands nombres.
Q31. On ne suppose pas centrée dans cette question. Montrer que admet une espérance.
On suppose désormais que est centrée.
Q32. Énoncer et démontrer l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire finie sur . Montrer que ce résultat est encore vrai lorsque est une variable aléatoire discrète non nécessairement finie.
Q33. En déduire que pour tout :
Q34. Montrer que pour tout , pour tout et pour tout , on a :
Majoration de
Q35. Soit . On considère la fonction définie par :
Montrer que la fonction est dérivable sur et que la fonction est décroissante sur . En déduire, en remarquant que , que pour tout .
Q36. En déduire que pour tout et pour tout on a :
Q37. En déduire que pour tout :
Q38. Montrer que pour tout entier et tout , on a :
En déduire que pour tout , on a :

Majoration de

Dans ce paragraphe, on considère un entier et un réel .
Q39. Montrer que la fonction
atteint un minimum en un point que l'on précisera.
Q40. En déduire que , puis que :

Conclusion

Q41. Montrer que pour tout réel , la série de terme général converge.
Q42. On fixe un réel . On note, pour tout
Montrer que pour tout est un événement et que :
Q43. Posons, pour tout :
Montrer que pour tout est un événement.
Écrire l'ensemble à l'aide des événements . En déduire que est un événement.
Q44. Déduire des questions précédentes que:

FIN

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