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CCINP Mathématiques PSI 2021

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Algèbre linéaireSéries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généralisées
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CCINP
Année
2021
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2021PSI MathsMaths 2021
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et de deux problèmes indépendants.

EXERCICE Étude d'extremums

On considère la fonction définie sur par: .
L'objectif de cet exercice est d'étudier l'existence d'extremums pour .
Q1. Déterminer les points critiques de .
Q2. Expliciter des points arbitrairement proches de , tels que .
Expliciter de même des points arbitrairement proches de , tels que .
La fonction admet-elle en un maximum local, un minimum local ou aucun des deux?
On considère la fonction définie sur par: .
Q3. Calculer, pour tout puis, pour tout .
Q4. Prouver que pour tout , on a : . Que peut-on en conclure?
Q5. La fonction possède-t'elle un ou des extremums globaux?

PROBLÈME 1
Étude d'une famille de séries entières

Dans tout le problème, désigne un nombre réel. On note l'ensemble des réels pour lesquels la série entière est convergente et on pose, pour tout :

Objectifs

Ce problème est composé de trois parties indépendantes.
Dans la Partie I, on étudie quelques propriétés élémentaires des fonctions .
L'objectif de la Partie II est de construire un logarithme complexe.
Enfin, la Partie III permet d'obtenir un équivalent de lorsque tend vers 1 , dans le cas .

Partie I - Quelques propriétés des fonctions

Q6. Déterminer le rayon de convergence commun aux séries entières définissant les fonctions .
Q7. Déterminer, suivant les valeurs du réel , le domaine de définition de la fonction . On distinguera les cas et .
Q8. On suppose dans cette question . Déterminer, pour tout , le signe de .
Q9. Expliciter et .
Q10. Soit . Prouver que est continue sur .
Q11. Soit . Prouver que . On pourra comparer à .
On suppose dans les deux prochaines questions qu'il existe un réel et une variable aléatoire , définie sur un espace probabilisé ( ) et à valeurs dans , tels que la fonction génératrice de soit :
Q12. Montrer que et .
Q13. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la variable aléatoire admette une espérance.
Déterminer cette espérance en fonction de et seulement.

Partie II - Un logarithme complexe

Q14. Donner sans démonstration le développement en série entière au voisinage de 0 de la fonction qui à associe .
Pour tout nombre complexe , tel que la série est convergente, on note : .
Q15. Donner le rayon de convergence de la série entière définissant . Pour tout réel élément de , déterminer la valeur de .
Soit tel que . On considère la série entière de la variable réelle suivante :
En cas de convergence, on note sa somme.
On a donc, pour tel que la série est convergente, .
Q16. Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant .
Q17. Prouver que est définie et de classe sur . Déterminer, pour tout .
Q18. On pose . Prouver que pour tout :
Q19. Résoudre l'équation différentielle de la question précédente et en déduire que :

Partie III - Un équivalent de quand tend vers , dans le cas où

Dans toute cette partie, on suppose que [. L'objectif est de donner un équivalent de quand tend vers 1 .
Pour tout , on considère l'intégrale : .
Q20. Justifier que, pour tout , l'intégrale est convergente.
Q21. On rappelle que la fonction d'Euler est définie sur par: . Pour tout , déterminer une expression de faisant intervenir et .
Q22. Prouver que, pour tout , la fonction définie pour tout est décroissante sur .
Q23. En déduire, pour tout , l'encadrement :
Q24. En déduire un équivalent de quand tend vers 1.

PROBLÈME 2

Pour tout

Dans ce problème, désigne un entier non nul fixé.
On note (respectivement ) l'espace vectoriel des matrices carrées de taille à coefficients dans (respectivement ), l'ensemble des matrices inversibles de taille à coefficients dans et l'espace vectoriel des matrices colonnes de taille à coefficients dans .
Pour toute matrice , on note son polynôme caractéristique et l'ensemble de ses valeurs propres complexes. On pourra utiliser librement les produits matriciels par blocs.

Objectifs

On s'intéresse dans la Partie I à trois cas particuliers.
On montre d'abord que dans le cas particulier des matrices diagonales complexes , où désigne la matrice conjuguée de , c'est-à-dire la matrice obtenue en considérant le conjugué de chaque coefficient de .
On montre ensuite que dans le cas particulier des matrices symétriques réelles . On considère enfin le cas des matrices réelles pour lesquelles on démontre que .
La Partie II est consacrée au cas général.
On montre que pour toute matrice de .

Partie I - Trois cas particuliers

Q25. On se place dans le cas particulier où est une matrice de diagonale. Démontrer que et que :
avec égalité si et seulement si .
Q26. On se place dans le cas particulier où est une matrice de symétrique. Démontrer que :
avec égalité si et seulement si .
Q27. Démontrer par récurrence sur que : .
Q28. On suppose dans cette question que est une matrice de . Déduire de la question précédente que, dans ce cas, on a :
En déduire que et que si et seulement si .

Partie II - Le cas général

On considère dans cette partie une matrice de et on démontre que . Seule la Q27 de la partie I sera utile pour la suite.
Q29. En considérant le produit matriciel , démontrer que :
On notera désormais : .
Q30. Soient et la base canonique de . On note l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est . Exprimer la matrice de dans la base .
Q31. Soit . En s'inspirant de la question précédente, montrer que la matrice est semblable dans à la matrice . Montrer de même que est semblable à la matrice .
Q32. En déduire que le polynôme caractéristique de la matrice est à coefficients réels.
Pour la suite, nous écrirons les vecteurs de sous la forme , où .
On considère l'application définie par :
Q33. Démontrer les propriétés suivantes de l'application :
a) Pour tout ;
b) ;
c) Pour tout et tout .
Q34. Soit .
Montrer que la famille est libre et que le plan Vect est stable .
Q35．Soit un sous－espace vectoriel de stable par et soit ． Montrer que ：
Pour tout ，on note sa multiplicité comme racine du polynôme caractéristique．On peut donc écrire ： ．On note alors，pour tout ：
On admet，pour traiter la ，que pour tout ，on a ： ．
Q36．Montrer que pour tout ，on a ： ．
Q37．Montrer que si ，alors est de dimension paire．
Q38．Conclure que ： ．
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