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CCINP Mathématiques TSI 2018

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéduction
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CCINP
Année
2018
Filière
TSI
Matière
Maths
CCINP TSICCINP 2018TSI MathsMaths 2018
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MATHÉMATIQUES

Lundi 30 avril :
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants qui peuvent être traités dans un ordre choisi par le candidat.

PROBLÈME 1

On note l'ensemble des variables aléatoires réelles discrètes , définies sur un espace probabilisé muni d'une probabilité , telle que existe. Lorsqu'une variable aléatoire réelle discrète appartient à , on dit alors que admet un moment d'ordre 2 .

Partie I - Étude de l'ensemble des variables aléatoires discrètes admettant un moment d'ordre 2

I. 1 - Exemple simple

Soit une variable aléatoire sur suivant la loi de Bernoulli de paramètre .
Q1. Rappeler la loi de Bernoulli de paramètre .
Q2. Montrer que appartient à .

I. 2 - Cadre général

Soient et deux variables aléatoires de ayant respectivement pour ensemble image et avec pour tout entier dans et tout entier dans . On note :
Q3. Quelle(s) condition(s) doi(ven)t vérifier et pour que ?
Q4. Exprimer en fonction de et de .
Proposer une formulation équivalente pour .
Q5. Montrer que pour tout dans . En déduire que .
De la même manière, montrer que .
Q6. Montrer que, pour tout .
Q7. Pour cette question, on admettra le résultat suivant :
Si et sont deux variables aléatoires réelles telles que est d'espérance finie et , , alors est d'espérance finie et .
Montrer que l'espérance de la variable produit existe et que :
Q8. À l'aide de la question précédente, montrer que est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des variables aléatoires réelles sur .

I. 3 - Artifice de calcul : utilisation de la loi certaine

Sur l'espace muni de la probabilité , on considère une variable aléatoire certaine égale à 1 .
Q9. Donner l'ensemble image de et sa loi.
Q10. Calculer et en déduire que appartient à .
Q11. Déduire des questions et que si alors admet une espérance et que :
Q12. Dans le cas de deux variables aléatoires finies et , on rappelle que la covariance de et est définie par . Montrer que :
Q13. Pour , on définit, si elle existe, la covariance de et par la formule (1). Déduire des questions précédentes que si , alors et admettent une variance et que leur existe.

Partie II - Étude de la matrice de covariance

Soient , on définit , la matrice de covariance des variables aléatoires , comme la matrice carrée d'ordre 3 avec où pour tout .

II. 1 - Étude d'un exemple

On suppose uniquement dans cette sous-partie, que les trois variables aléatoires et sont à valeurs dans et qu'elles vérifient les conditions suivantes :
il existe tels que et
Q14. Montrer que et sont des variables de Bernoulli respectivement de paramètres , et .
Q15. On pose , calculer et en déduire la variance de .
Q16. Montrer que et .
Q17. Vérifier que la matrice est égale à .

Réduction de la matrice dans un cas particulier

Q18. Montrer que le vecteur colonne est un vecteur propre de la matrice associé à la valeur propre 0.
Q19. Déterminer le rang de puis son noyau.
Q20. On suppose de plus que . Exprimer uniquement en fonction de , puis montrer que est une valeur propre de et préciser la dimension de l'espace propre.
Q21. Toujours dans le cas où , et en utilisant la trace de , déterminer toutes les valeurs propres de et donner son polynôme caractéristique.

II. 2 - Retour au cas général

On se place maintenant dans le cas général : et sont trois variables aléatoires discrètes de quelconques. On rappelle que la matrice est la matrice carrée d'ordre 3 dont le coefficient placé à l'intersection de la -ème ligne et de la -ème colonne est , avec la définition de la covariance vue à la question Q12.
Q22. Montrer que est une matrice symétrique; en déduire qu'elle est diagonalisable.
Q23. En calculant la variance de la variable aléatoire , montrer que pour tout , on a :
Q24. Montrer que la relation (3) peut s'écrire sous la forme
En déduire que les valeurs propres de sont positives ou nulles.

PROBLÈME 2

Le problème est composé de trois parties qui ne sont pas indépendantes. On pourra admettre les résultats des questions de ce problème en les précisant dans la copie.
Étant donné un réel , on considère l'équation différentielle ( ) suivante :
dont on cherche des fonctions solutions sur l'intervalle ouvert .

Partie I - Résolution dans le cas où

Dans cette partie, on suppose , on cherche donc à résoudre sur , l'équation
Q25. Soit . Montrer que est définie et continue sur le segment , dérivable sur l'intervalle ouvert et que :
Q26. Montrer que toute fonction constante sur est solution de .
Q27. Montrer que .
Q28. On pose . Montrer que ( ) est équivalente à :
Q29. Résoudre sur .
Q30. En déduire les solutions de sur .

Partie II - Recherche d'une solution particulière dans le cas où

On se place dans le cas où .
Soit une fonction égale à la somme d'une série entière de terme général , de rayon de convergence supposé strictement positif :
Q31. Justifier que est de classe sur un ensemble que vous préciserez.
Q32. Montrer que vérifie si et seulement si .
On supposera dorénavant que est solution de .
Q33. Montrer que .
Q34. Si , donner une expression simple de et préciser son rayon de convergence.
Q35. Si et avec un entier, montrer que est polynomiale et préciser son degré.
Q36. Si et pour tout entier , préciser le rayon de convergence de .

Partie III - Étude d'une solution particulière

On se place dans le cas où et .
Soit la fonction définie sur l'intervalle par la relation :
où la suite est la suite définie à la question et est le rayon de convergence obtenu à la question Q36.
Q37. À partir de la relation obtenue à la question Q33, montrer que :
Q38. Montrer que .
Q39. En déduire que .
Q40. En admettant la formule de Stirling : , montrer que .
Q41. Rappeler le rayon de convergence de et préciser la convergence de la série aux bornes de l'intervalle de convergence.
Q42. En déduire que l'équation ( ) admet une solution non-nulle sur l'intervalle .

FIN

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