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CCINP Mathématiques TSI 2019
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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementSéries et familles sommables
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI
MATHÉMATIQUES
Lundi 29 avril :
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont interdites
Le sujet est composé de
PROBLÈME 1
Partie I - Isométrie de
Soit
Q1. Montrer que
Q2. L'isométrie associée à la matrice
Q3. Démontrer que
Q4. Soit
Q5. Déterminer les caractéristiques de l'isométrie associée à
Q2. L'isométrie associée à la matrice
Q3. Démontrer que
Q4. Soit
Q5. Déterminer les caractéristiques de l'isométrie associée à
Partie II - Espace vectoriel des matrices symétriques de taille 2
On note
Pour
Q6. Montrer que
Q7. Montrer que
Q8. Soit
Pour
Q6. Montrer que
Q7. Montrer que
Q8. Soit
Montrer que
Partie III - Application linéaire sur
On considère
On définit l'application
On définit l'application
Q9. Montrer que
Q10. Déterminer la matrice de
Q11. À l'aide de la partie
Q10. Déterminer la matrice de
Q11. À l'aide de la partie
Q12. Montrer que
PROBLÈME 2
Dans ce problème, on étudie l'intégrale
Partie I - Étude de la suite
Q13. Calculer
Q14. Montrer que pour tout
Q15. Établir que
Q16. Soit
Vérifier que
Q17. En déduire que
Q18. Donner, à partir de la question précédente, un encadrement de
Q19. En déduire que
Q14. Montrer que pour tout
Q15. Établir que
Q16. Soit
Vérifier que
Q17. En déduire que
Q18. Donner, à partir de la question précédente, un encadrement de
Q19. En déduire que
Partie II - Série entière
Dans cette partie, on étudie la série entière de rayon de convergence
Q20. La série
Q21. Déterminer le rayon de convergence
Q22. Établir la formule suivante pour tout nombre entier naturel
Q21. Déterminer le rayon de convergence
Q22. Établir la formule suivante pour tout nombre entier naturel
Q23. En déduire l'égalité
Q24. Montrer que
Q25. En déduire l'expression de
Q24. Montrer que
Q25. En déduire l'expression de
PROBLÈME 3
Optimisation du choix d'une place de parking
Présentation générale
On considère une rue infiniment longue et rectiligne. On souhaite aller à un numéro précis de cette rue.
Devant chaque numéro se trouve une place de parking. On cherche à savoir à partir de quel moment on doit commencer à s'intéresser aux places disponibles pour pouvoir se garer au plus près de l'arrivée.
Au départ, nous sommes au début de la rue. Par convention, nous poserons que le début de la rue a pour numéro 0 . Devant chaque numéro
Notre stratégie est la suivante : on se donne
On note
Partie I - Loi de
Q26. Donner l'univers-image de
Q27. Déterminer la loi de
Q28. Soit
Montrer que
Q29. En déduire l'espérance et la variance de
Q27. Déterminer la loi de
Q28. Soit
Montrer que
Q29. En déduire l'espérance et la variance de
Partie II - Calcul de la distance moyenne à l'arrivée
On souhaite aller au numéro
La distance à l'objectif est
Pour simplifier, on prend
Q30. Établir que
Pour simplifier, on prend
Q30. Établir que
Q31. Soit la suite
Montrer que
On pourra effectuer un changement d'indice
Q32. Montrer, par récurrence, que pour tout
Q33. Exprimer
Q34. Justifier que
En déduire la valeur de
Montrer que
On pourra effectuer un changement d'indice
Q32. Montrer, par récurrence, que pour tout
Q33. Exprimer
Q34. Justifier que
En déduire la valeur de
Partie III - Optimisation
On admet que, pour tout
Q35. Simplifier
Q36. Étudier le signe de
En déduire que
Q37. Dans cette question, on s'intéresse à l'exemple pour lequel
Q38. Simulation : recopier et compléter le programme en Python suivant pour simuler notre stratégie.
Q35. Simplifier
Q36. Étudier le signe de
En déduire que
Q37. Dans cette question, on s'intéresse à l'exemple pour lequel
Q38. Simulation : recopier et compléter le programme en Python suivant pour simuler notre stratégie.
def Bernoulli(q):
return (random()<q)
def distance(s,d,p):
X =
while (...................):
X =
return (abs(X-d))
La fonction Bernouilli simule une variable de Bernouilli
La fonction distance simule notre stratégie. Elle prend comme paramètres des entiers s et d et un nombre à virgule flottante p. Ces variables correspondent aux valeurs introduites dans les sections précédentes. Elle renvoie un entier représentant la distance à parcourir en sortant de la voiture.
La fonction distance simule notre stratégie. Elle prend comme paramètres des entiers s et d et un nombre à virgule flottante p. Ces variables correspondent aux valeurs introduites dans les sections précédentes. Elle renvoie un entier représentant la distance à parcourir en sortant de la voiture.