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CCINP Mathématiques TSI 2020

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généralisées
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Banque
CCINP
Année
2020
Filière
TSI
Matière
Maths
CCINP TSICCINP 2020TSI MathsMaths 2020
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MATHÉMATIQUES

Lundi 4 mai : -

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de trois problèmes indépendants.

PROBLÈME 1

(Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre)

Partie I - Préliminaires

Soit l'espace vectoriel des fonctions -périodiques.
Soit un élément de , on considère les fonctions :
On pose et .
Q1. Montrer que et sont des sous-espaces vectoriels de et donner leurs dimensions.
Soient des éléments de , on définit : .
Q2. Montrer que est un produit scalaire sur .
On munit pour la suite l'espace vectoriel du produit scalaire .
Q3. Calculer la norme de et en déduire une base orthonormée de .
Q4. Soit un élément , donner l'expression de la projection orthogonale de sur .
Q5. Soient un élément de et un élément , exprimer en fonction des coefficients de Fourier de .
Q6. Soit un élément de , donner le lien entre la projection de sur et les coefficients de Fourier de .

Partie II - Série de Fourier

Soit la fonction définie pour tout élément de par : .
Q7. Montrer que est paire sur et périodique de période .
Q8. Étudier sur un domaine le plus restreint possible. Donner la représentation graphique de sur .
Q9. Calculer la valeur moyenne de sur une période.
Q10. Linéariser .
Q11. Montrer que pour tout élément appartenant à .
Q12. Donner les coefficients de Fourier de .
Q13. En utilisant le développement de Fourier de pour , montrer que .

PROBLÈME 2

Partie I - Exemple

Soit une application linéaire de dans définie par .
Q14. Déterminer la matrice de dans la base canonique de et en déduire que .
Q15. Montrer que est diagonalisable et donner une base de vecteurs propres.

Partie II - Cas général

Dans cette partie, désigne un -espace vectoriel de dimension finie appartenant à .
On note l'ensemble des endomorphismes de et l'endomorphisme identité de .
On considère un endomorphisme de vérifiant la relation .
Q16. Prouver que l'endomorphisme est inversible et exprimer son inverse en fonction de et de .
Q17. Justifier que et sont des sous-espaces vectoriels de E .
Q18. Montrer que : .
Q19. Calculer . En déduire que .
Q20. Exprimer et comme combinaisons linéaires de et .
Q21. Établir par récurrence que pour tout entier naturel , il existe un couple ( ) de réels tel que : .
Déterminer et . Exprimer et en fonction de et pour dans .
Q22. Montrer que pour tout appartenant à . En déduire les expressions de et en fonction de pour élément de .
Q23. Calculer les limites des suites et de termes général respectivement .

PROBLÈME 3

Partie I - Préliminaires

Q24. Justifier que pour tout appartenant à .
Q25. Montrer que pour tout élément de , l'intégrale est convergente.
Q26. En déduire que pour tout élément de , l'intégrale est convergente.
Q27. En déduire que pour tout polynôme appartenant à , l'intégrale est convergente.
Pour la suite, on admet que et on note .
Q28. Établir à l'aide d'une intégration par parties que pour tout élément de .
Q29. Montrer que pour tout élément de .
Q30. Montrer que pour tout appartenant à .

Partie II - Recherche des extrema

Soit une fonction définie sur par: .
Q31. Montrer que pour tout ( ) appartenant à .
Q32. Calculer les dérivées partielles premières de et en déduire les trois points critiques de .
Q33. Calculer pour tout appartenant à et .
Q34. Le point est-il un extremum local?

Partie III - Intégrale dépendant d'un paramètre

Q35. Pour tout élément de , montrer que les intégrales et convergent.
Pour la suite, on note et .
Q36. Rappeler la formule de Taylor avec reste intégral sans oublier les hypothèses.
Q37. En appliquant la formule précédente à la fonction , montrer que pour tout ( ) éléments de .
Q38. Montrer que pour tout appartenant à .
Q39. En déduire que la fonction est dérivable sur et donner sa dérivée.
Q40. Démontrer que pour tout élément de (on pourra effectuer une intégration par partie).
Q41. Donner une équation différentielle dont est solution sur .
Q42. Montrer que pour tout appartenant à .

FIN

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