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CCINP Mathématiques TSI 2021

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrement

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CCINP TSI CCINP 2021 TSI Maths Maths 2021

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois problèmes indépendants.

Le problème 1 est composé de trois parties et les problèmes 2 et 3 de deux parties.

PROBLÈME 1

On rappelle que pour

réel strictement positif et

réel, on note

.
On considère la fonction

et on pose

[ son ensemble de définition.

Partie I - Étude de la fonction

Q1. Calculer

et justifier que

est dérivable sur

.
Q2. Dresser le tableau de variations de

et préciser ses limites aux bornes de

.
Q3. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 1 à la courbe représentative de

.
Q4. On admet que

. Déterminer la position relative de la tangente au point d'abscisse 1 par rapport à la courbe représentative de

.
Q5. Représenter sur l'intervalle

la courbe représentative de

et la tangente obtenue dans la question précédente sur le même graphique.
On donne

.
Q6. En utilisant le graphique, justifier l'encadrement

Partie II - Une approximation plus précise de

II. 1 - Un calcul d'intégrales

Q7. Soit

. Calculer

.
Q8. Soit

. Justifier que la fonction

est prolongeable par continuité en 0 et que son prolongement prend la valeur 0 en 0 .

Dans la suite, on notera la fonction prolongée de la même façon.
Q9. Soit

. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :

Q10. Pour

, en déduire par récurrence sur

, que pour tout entier naturel

, on a:

Justifier que cette égalité est encore vraie pour

.
II. 2 - Expression de

à l'aide d'une série

Q11. Rappeler le développement en série entière de

ainsi que son rayon de convergence.
Q12. Justifier que

.
Q13. En déduire l'égalité

.
Q14. Soit

. On note

le reste au rang

de la série

et on admet l'inégalité

Dans le langage Python, écrire une fonction approximation(e) qui prend en paramètre un nombre réel strictement positif e et qui renvoie un nombre réel représentant l'approximation de

dont l'erreur maximale commise est e.
Donner ensuite une valeur approchée de

près.

Partie III - Étude du point critique de la surface

Dans cette partie, on suppose l'espace

muni d'un repère orthonormé direct. Soit

la fonction de deux variables définie par

.
Q15. Déterminer l'ensemble de définition

et le représenter dans le plan.
Q16. Montrer que

admet un et un seul point critique dans

et vérifier que la valeur de

en ce point critique vaut 0 .

Q17. Montrer que :

Q18. À l'aide des questions Q4 et Q17, justifier que le point critique n'est pas un extremum.
Q19. Déterminer l'équation du plan tangent à la surface d'équation

au point

. Que peut-on affirmer sur la position relative de ce plan tangent à la surface ?

PROBLÈME 2 Calcul d'une limite à l'aide d'une série de Fourier

Pour

un entier naturel, on s'intéresse à l'intégrale :

Partie I - Existence des et réécriture

Q20. Déterminer la nature de

.
Q21. Montrer que la série

converge et préciser la valeur de

.
Q22. Pour

, démontrer l'égalité

.
Q23. Montrer que, pour tout

, on a :

On pourra effectuer le changement d'indice

.
Q24. En déduire que, pour tout réel

positif, on a :

Q25. Montrer que, pour tout

, l'intégrale

converge, puis justifier que l'on peut écrire :

Partie II - Étude de la convergence de ( )

On considère

la fonction définie sur

par :

On note encore

son prolongement

-périodique sur

et on considère les coefficients de Fourier de

définis par :

pour
.

Q26. Pour

, exprimer

en fonction de

et calculer

.
Q27. Soit

. À l'aide du changement de variables

, montrer que :

Q28. Soit

. En utilisant la question Q21, montrer que :

Q29. Soit

. En utilisant la question Q26, montrer que :

Q30. En appliquant le théorème de Dirichlet à

évaluée en 0 , montrer enfin que la suite

converge et déterminer sa limite.

PROBLÈME 3 Variables aléatoires à valeurs dans

Dans ce problème, toutes les variables aléatoires introduites sont supposées définies sur le même espace probabilisé (

). Pour

une variable aléatoire sur

, on note

l'ensemble de ses valeurs.
On dit qu'une variable aléatoire

sur (

) suit une loi de Rademacher lorsque :

Partie I - Marche aléatoire sur un carré

Dans cette partie, le plan usuel

est muni d'un repère orthonormé direct.

I. 1 - Rotations du plan

Soit

.
Q31. Donner la matrice de rotation dans le plan

d'angle

.
On note

l'application de

vers

canoniquement associée à cette matrice de rotation.
Q32. Pour

, calculer

.
À partir de cette question, on identifie le plan complexe

au plan usuel

. Ainsi, à chaque point

dans

est associé une unique affixe

dans

.
Q33. Pour

, démontrer que l'affixe correspondante à

s'écrit

.
Pour la suite de cette partie, on admet que la rotation d'angle

et ayant pour centre l'origine est représentée par l'application complexe

définie par:

ù

I. 2 - Racines -ièmes de l'unité

Dans cette sous-partie,

désigne un entier naturel non nul. On rappelle qu'une racine

-ième de l'unité est un nombre complexe

vérifiant

. On note, pour

.
Q34. Montrer que

sont précisément les racines

-ièmes de l'unité.
Q35. Montrer que, pour tout

, on a :

.
Q36. Dans le cas où

, donner la forme algébrique de

I. 3 - Marche aléatoire sur un carré

Dans cette sous-partie, le plan est assimilé à l'ensemble des nombres complexes

. On s'intéresse à une boussole centrée en 0 dont l'aiguille peut indiquer l'une des quatre directions :

On suppose que lorsque l'aiguille se trouve en l'un des quatre points précédents à une étape, elle se déplace d'un point à l'étape d'après avec la probabilité

que ce soit dans le sens trigonométrique ou dans le sens inverse. D'une étape sur l'autre, elle ne peut donc pas rester sur place.
Pour

, on étudie le déplacement de l'aiguille de l'étape

à l'étape

et on note

la variable aléatoire qui indique l'affixe de l'aiguille de la boussole à l'étape

. Ainsi

prend ses valeurs dans

On admet que les résultats du cours pour les variables aléatoires à valeurs réelles le sont aussi pour les variables aléatoires à valeurs complexes. On pourra donc les utiliser sur les variables

.
Pour

, on note aussi

la variable aléatoire qui vaut +1 si la boussole tourne dans le sens trigonométrique entre l'étape

et l'étape

, et -1 dans le sens inverse. De ce fait

suit une loi de Rademacher.
Q37. Soit

. Justifier que

.
Q38. Soit

. En utilisant la variable

et le fait que

est un système complet d'événements de

, justifier que :

Q39. Soit

. Sans justifier, exprimer avec des formules analogues,

.
On note la matrice

.
Q40. Justifier que

est diagonalisable dans

.
Q41. La matrice

est-elle inversible?
Q42. Montrer que -1 est valeur propre de

.
Q43. Montrer que le vecteur

est vecteur propre de

et préciser la valeur propre associée.
Q44. Déterminer une base de l'image de

et retrouver le fait que

est diagonalisable dans

grâce aux dimensions des sous-espaces propres.
Q45. Soit la matrice colonne

. On suppose qu'à l'étape 0 , l'aiguille indique l'Est, c'est-à-dire

. Expliquer la démarche, sans mener les calculs, pour obtenir une expression en fonction de

des probabilités

Partie II - Orthonormalité des lois de Rademacher

Dans cette partie, on fixe

II. 1 - Un produit scalaire

On note

l'ensemble des variables aléatoires réelles discrètes sur

admettant un nombre fini de valeurs :

Q46. Montrer que si

suit une loi de Rademacher, alors

et montrer que

.
Q47. Montrer que

est un

-espace vectoriel.
On définit l'application

sur

par :

où

désigne l'espérance et (

) est un couple dans

.
Q48. Montrer que l'application

est un produit scalaire sur

II. 2 - Orthonormalité et projection

On considère

une suite de

variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi de Rademacher.

Q49. Montrer que

est une famille orthonormale dans

pour le produit scalaire

.
On garde dans cette dernière sous-partie les notations introduites ci-dessus. On note

le sous-espace vectoriel de

engendré par

Q50. Déterminer la dimension de

.
Q51. Montrer que si

est indépendante de chacune des variables

, alors

où

désigne l'orthogonal de