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CCINP Mathématiques TSI 2022

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Algèbre linéaireGéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsEquations différentielles
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CCINP
Année
2022
Filière
TSI
Matière
Maths
CCINP TSICCINP 2022TSI MathsMaths 2022
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.
Chaque problème est constitué de parties indépendantes.

PROBLÈME 1

Application sur avec

Le but de cet exercice est l'étude de l'application définie avec un entier fixé non nul par :
afin de permettre le calcul de somme d'entiers.
On note pour tout entier non nul la composée -ième de l'application .

Partie I - Préliminaires

Q1. Donner la formule du binôme de Newton.
Q2. Soit un entier non nul. Montrer que:
Q3. On considère les polynômes et .
Montrer que :
Q4. Calculer et .
Q5. Montrer que est un endomorphisme de .
Q6. Montrer que pour tout polynôme non constant de degré avec un entier non nul, est un polynôme de degré .
Q7. Calculer le noyau de .
Q8. Donner l'image de .
Q9. Soient et , deux éléments de , tels que .
Montrer que :

Partie II - Une famille de polynômes

Q10. Considérons la famille de où pour chaque non nul,
ôéà
Prouver que est une base de :
Q11. Montrer que pour tout entier entre 1 et .
Q12. Montrer que pour tout entier entre 1 et .
Q13. Montrer que pour tout entier entre 1 et .
Q14. Soit un polynôme de tel que avec réel pour tout entier entre 0 et . Montrer que et que pour , un entier fixé entre 1 et .
Q15. En déduire que tout polynôme de peut s'écrire (de manière unique) sous la forme :
Q16. Vérifier que .
Q17. Déduire à l'aide de , de et de que :
Q18. Vérifier que .
Q19. En déduire que .
Q20. Proposer en Python une fonction qui renvoie la valeur de la somme des cubes des premiers entiers prenant en argument un entier naturel passé en paramètre.

PROBLÈME 2

Trajectoires orthogonales

Le problème ne nécessite aucune connaissance sur les courbes orthogonales.
Soient un plan et une famille de courbes tracées sur étant un sous-ensemble de . On appelle trajectoire orthogonale de sur , toute courbe , tracée sur et coupant orthogonalement chacune .
On se place dans la situation suivante.
Soit une famille de courbes du plan. Chaque courbe est la courbe représentative d'une fonction d'une variable réelle de classe qui vérifie une équation différentielle :
appelée équation différentielle du premier ordre de la famille de courbes .
On admet qu'une équation différentielle de la famille des trajectoires orthogonales de est :
On remplace donc par dans . On caractérisera les courbes orthogonales à la famille par les solutions de l'équation ( ).
On se place dans l'espace muni de son produit scalaire usuel et du repère orthonormé usuel ( ), où est la base orthonormée directe usuelle ( ). Nous allons montrer sur un exemple qu'il est possible de se ramener au plan ( ) d'équation .
On considère le plan ( ) d'équation :

Partie I - Quelques calculs dans le plan

Q21. Montrer que l'origine et les points de coordonnées respectives et appartiennent au plan ( ).
Q22. Démontrer que les vecteurs et forment une base du plan .
Q23. Calculer le produit vectoriel des vecteurs et .
Q24. Donner une interprétation géométrique de la norme du produit vectoriel des vecteurs et .
Q25. Montrer que le point de coordonnées n'appartient pas au plan .
Q26. Calculer le produit mixte des vecteurs et .
Q27. Donner une interprétation géométrique du produit mixte des vecteurs et .
Q28. Donner un vecteur normal au plan .
Q29. Donner les coordonnées du projeté orthogonal de sur le plan . On pourra réaliser un schéma pour expliciter la démarche utilisée.
Q30. Calculer la distance du point au plan ( ).

Partie II - Changement de repère

On souhaite effectuer un changement de base orthonormée directe de telle sorte qu'une équation du plan ( ) soit définie dans l'espace affine muni de la nouvelle base orthonormée directe.
On considère la famille formée par les vecteurs :
de coordonnées de coordonnées et de coordonnées .
Q31. Montrer que la famille est une base de .
Q32. Montrer que la base est une base orthonormale.
Q33. Montrer que la base est une base orthonormale directe.
Q34. Donner la matrice de passage de la base vers la base .
Q35. Justifier que la matrice de passage de la base vers la base est:
Q36. Vérifier que le vecteur de coordonnées dans la base a pour coordonnées dans la base .
Q37. Justifier que l'équation du plan ( ) dans le repère ( ) est .
Q38. Dans l'espace muni du repère ( ), donner la matrice de la projection orthogonale sur le plan ( ) dans la base .
Q39. Donner la relation permettant d'obtenir la matrice de la projection orthogonale sur le plan ( ) dans la base en fonction de et . On admet que l'on obtient après calculs :
Q40. Justifier que est diagonalisable. Sans calcul et à l'aide des questions précédentes, justifier que les valeurs propres sont 0 et 1 .
Q41. Montrer que l'espace propre associé à la valeur 1 est engendré par les vecteurs et . On rappelle que les points et sont définis à Q21.
On admet que le travail effectué dans cette partie peut être aussi réalisé pour un plan quelconque. Dans la suite de tout le problème, le plan ( ) aura pour équation .

Partie III - Soit la famille des droites du plan passant par l'origine. Détermination des trajectoires orthogonales de la famille de droites

L'espace est rapporté à son repère habituel. On considère le plan ( ) d'équation . Il est possible, en toute généralité, de se placer dans le cas où ( ) est le plan d'équation dans la base usuelle de .
Q42. Déterminer l'équation dans le plan de la droite passant par l'origine et par le point de coordonnées avec réel. Faire un dessin mettant en jeu et pour expliquer la situation.
Q43. En déduire que la famille de courbes admet pour équation différentielle du premier ordre :
Q44. En utilisant le résultat admis énoncé au début du problème 2 , démontrer que les courbes orthogonales ont pour équation différentielle :
Q45. Soit un réel positif. Donner les ensembles de définition et de dérivabilité de la fonction :
Q46. Montrer que la fonction est solution de sur .
Q47. Montrer que les trajectoires orthogonales obtenues vérifient l'équation:
é
Q48. Donner la nature géométrique des courbes avec leurs éléments caractéristiques vérifiant l'équation .

Partie IV - Détermination des trajectoires orthogonales de la famille des hyperboles équilatères du plan

On considère la courbe paramétrée d'équation :
Q49. Proposer un ensemble d'étude de la courbe paramétrée en justifiant votre démarche.
Q50. Étudier la courbe paramétrée sur l'ensemble . On indiquera en justifiant les tangentes parallèles aux axes le cas échéant.
Q51. Tracer sur votre copie dans un repère orthonormé d'unité 1 cm les droites d'équation et .
On admet que ce sont les asymptotes à la courbe.
Q52. Montrer que et sont orthogonales.
Q53. Tracer la courbe sur le graphique précédent réalisé à la .
Une hyperbole équilatère est une hyperbole dont les asymptotes forment un angle droit. L'équation caractéristique des hyperboles équilatères dont la famille est notée est :
Q54. Trouver la valeur de pour que vérifie l'équation .
Q55. Démontrer que famille admet pour équation différentielle :
Q56. En utilisant le résultat admis énoncé au début du problème et rappelé ici :
Une équation différentielle de la famille des trajectoires orthogonales de est :
Démontrer que les courbes orthogonales à la famille ( ) ont pour équation différentielle :
Q57. En prenant la fonction , justifier que est de classe , montrer que l'équation peut s'écrire sous la forme :
Q58. Trouver une solution particulière de ( ) sous forme polynomiale.
Q59. Résoudre .
Q60. Déduire que les courbes orthogonales à la famille vérifient l'équation :

FIN

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