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CCINP Mathématiques TSI 2024

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéduction

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CCINP TSI CCINP 2024 TSI Maths Maths 2024

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et de deux problèmes indépendants.

EXERCICE

Autour de la série harmonique

Dans cet exercice, on s'intéresse à la série harmonique

.
Le but est de démontrer que celle-ci est une série divergente. On donne ensuite une application probabiliste des résultats obtenus.

On pose :

Q1. Énoncer la définition de convergence pour une série

de nombres réels ou complexes.
Q2. Pour quelle(s) valeur(s) du réel

, la série

est-elle convergente?
Q3. Montrer que :

Q4. En déduire alors que:

puis, en remarquant l'égalité

, que pour tout entier naturel

.
Q5. Montrer que :

En déduire la divergence de la série harmonique.
Soit

. Une urne contient initialement une boule noire. On effectue

tirages dans l'urne de la manière suivante :

au cours de chaque tirage, on tire une boule de l'urne, puis on la remet dans celle-ci en y ajoutant une boule blanche;
on considère les tirages indépendants.

Pour tout entier

, on note

la variable aléatoire définie par :

si la boule tirée lors du -ième tirage est blanche;
si la boule tirée lors du -ième tirage est noire.

On définit enfin la variable

par:

Q6. Que représente la variable

?
Q7. Soit

. Reconnaître la loi de

et préciser son espérance.
Q8. Vérifier que l'espérance de

est

.
Q9. En utilisant Q4, déterminer une valeur de

pour laquelle on peut espérer obtenir en moyenne au moins 4 fois la boule noire.
On pourra utiliser le fait suivant :

PROBLÈME 1
Étude de matrices tridiagonales particulières

Présentation générale

Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés (diagonalisabilité, valeur du déterminant) de certaines matrices tridiagonales.

Plus précisément, pour un entier naturel

, on considère

couples de nombres complexes

, pour

variant de 1 à

, tels que

et on s'intéressera alors à la matrice suivante de

On posera également

(matrice carrée d'ordre 1 dont le seul coefficient vaut 1).
Les quatre parties de ce problème sont indépendantes. Elles peuvent être traitées séparément.

Notations

On note le polynôme caractéristique d'une matrice carrée et le sous-espace propre de associé à un scalaire ;
on note (respectivement ) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients dans (respectivement dans );
on note (respectivement ) l'espace vectoriel des matrices colonnes à lignes à coefficients dans (respectivement dans );
on note la matrice identité d'ordre ;
on note le conjugué d'un nombre complexe .

Partie I - Un exemple dans

Dans cette partie, on considère que

est égal à 3 et on pose

.
On s'intéresse donc à la matrice

définie par :

Q10. Justifier que

vérifie bien les données de l'énoncé.
Q11. Déterminer le rang de

et en déduire que

admet au moins une valeur propre réelle à préciser.
Q12. Déterminer

. Ce polynôme est-il scindé dans

?
Q13. Déduire de la question précédente la valeur du déterminant de

Q14. Justifier que

admet 3 valeurs propres complexes distinctes, dont une seule est réelle et les deux autres conjuguées. En déduire que

est diagonalisable dans

et donner, sans aucun calcul, la dimension de ses sous-espaces propres.

On note dans la suite

l'unique valeur propre réelle de

l'unique valeur propre complexe de

dont la partie imaginaire est strictement positive. Ainsi, les valeurs propres de

sont

Q15. Déterminer une base du sous-espace propre

.
Q16. Déterminer les nombres complexes

tels que:

En déduire une base du sous-espace propre

.
Q17. Soit

, une matrice à coefficients réels,

et :

Montrer que si

est un vecteur propre de

associé à la valeur propre

, alors le vecteur :

est un vecteur propre de

associé à la valeur propre

.
En déduire une base de

Partie II - Cas général dans

Uniquement dans cette partie, on considère que l'entier naturel

vaut 2 . On s'intéresse donc à la matrice

définie par :

où

sont deux nombres complexes tels que

.
Q18. Déterminer

.
Q19. Si on considère

réels, la matrice

est-elle diagonalisable dans

? Trigonalisable dans

?
Q20. La matrice

est-elle diagonalisable dans

?
Aucune diagonalisation effective n'est demandée.
Q21. Donner la valeur du déterminant de

Objectif de la suite du problème

Dans la partie III, nous démontrerons certains résultats liés à la suite de Fibonacci.
Dans la partie IV, nous déterminerons la valeur du déterminant des matrices tridiagonales vérifiant les conditions de l'énoncé.

Partie III - La suite de Fibonacci

On définit la suite de Fibonacci

de la manière suivante :

et :

Q22. Montrer que pour tout entier naturel

est un entier naturel.
Q23. Résoudre l'équation caractéristique associée à

. En déduire l'expression de

pour tout entier naturel

On considère la fonction récursive suivante, prenant en argument un entier naturel

, et renvoyant la valeur de

def Fibo(n):
    ''' n : entier naturel.
    Renvoie la valeur de Fn'''
    if n<=1:
        return 1
    return Fibo(n-1)+Fibo(n-2)

Q24. Les trois questions suivantes sont liées à la fonction Fibo.
a) À l'aide d'un schéma, représenter les différents appels récursifs lors de l'exécution de l'instruction Fibo (4).
b) Expliquer, de manière simple et sans calcul, pourquoi cette fonction a une complexité de calcul élevée.
c) Écrire une fonction FiboV2, prenant en argument un entier naturel

et renvoyant la valeur du terme

. Cette fonction ne devra pas être récursive et devra avoir un coût de calcul moins élevé que Fibo.

Partie IV - Calcul du déterminant dans le cas général

On reprend les notations de la présentation générale et on considère donc les matrices

pour tout entier naturel

. On note alors

le déterminant de

On rappelle que la suite de Fibonacci

est définie de la manière suivante :

et :

Q25. Donner les valeurs de

et de

puis calculer

.
Q26. Montrer que pour tout entier naturel

. On pourra développer

par rapport à la dernière ligne de

.
Q27. En déduire que pour entier naturel

PROBLÈME 2

Calcul d'une borne inférieure

Présentation générale

L'objectif de ce problème est d'étudier l'existence de la borne inférieure suivante:

Plus précisément, nous allons montrer que cette borne inférieure existe et est atteinte en un unique couple (

) de

. Deux méthodes seront utilisées:

I'une, utilisant un produit scalaire sur un espace vectoriel bien choisi;
l'autre, en minimisant une fonction convenable de deux variables.

Dans la suite,

désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et

le sous-espace vectoriel de

constitué des polynômes dont le degré est inférieur ou égal à 1 .

Partie I - Étude d'une suite d'intégrales

On pose, pour tout entier naturel

Q28. Calculer

.
Q29. Montrer que :

Q30. En déduire les valeurs de

et vérifier que:

Q31. Montrer que

est décroissante.
Q32. Montrer que

converge et que sa limite est 0 .
Q33. Montrer que:

Q34. En déduire que la série

converge et donner sa somme.
Q35. En utilisant Q29 et Q31, montrer que :

et en déduire un équivalent de

quand

tend vers

Partie II - Étude d'un produit scalaire

On rappelle que

et on pose :

Q36. Montrer que

définit un produit scalaire sur

. On note

la norme associée.
Q37. Les vecteurs 1 et

sont-ils orthogonaux pour ce produit scalaire?
Q38. On note

le projeté orthogonal de

sur

. Justifier l'existence de deux réels

tels que :

Q39. Que peut-on dire du polynôme

par rapport à l'espace vectoriel

? En déduire que (

) est solution du système linéaire :

Q40. Justifier l'existence du réel

et l'égalité suivante :

On ne demande pas de simplifier cette expression.

Partie III - Utilisation d'une fonction de deux variables

Dans cette partie, on admet l'existence de

et le fait que cette borne inférieure soit atteinte en un unique couple de réels. Le but est de déterminer ce couple sans utilisation d'un produit scalaire.

On considère

définie par :

Q41. Justifier que

est définie sur

par :

II n'est pas demandé de remplacer

par leur valeur.
Q42. Justifier que

est de classe

sur

.
Q43. Montrer que

admet un unique point critique sur

. On pourra utiliser le fait que

appartient à

.
Q44. Répondre au problème posé en déterminant le couple cherché.

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MATHÉMATIQUES

RAPPEL DES CONSIGNES

Les calculatrices sont interdites.

EXERCICE

Autour de la série harmonique

PROBLÈME 1 Étude de matrices tridiagonales particulières

Présentation générale

Notations

Partie I - Un exemple dans

Partie II - Cas général dans

Objectif de la suite du problème

Partie III - La suite de Fibonacci

Partie IV - Calcul du déterminant dans le cas général

PROBLÈME 2

Calcul d'une borne inférieure

Présentation générale

Partie I - Étude d'une suite d'intégrales

Partie II - Étude d'un produit scalaire

Partie III - Utilisation d'une fonction de deux variables

PROBLÈME 1
Étude de matrices tridiagonales particulières