Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesPolynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéduction
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites.
Le sujet se compose d'un problème et d'un exercice tous deux indépendants.
Le problème est constitué de trois parties indépendantes.
Si besoin, le candidat pourra admettre le résultat d'une question et l'utiliser dans les questions suivantes.
PROBLÈME
Dans ce problème, désigne un entier naturel non nul et désigne le -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à .
Si sont réels et est le polynôme défini par : , on définit le polynôme par : .
Autrement dit, est le polynôme obtenu à partir de en "inversant l'ordre des coefficients ". Par exemple, si est égal à 2 et si , on obtient .
Partie I - Étude d'une application linéaire
Q1. Calculer et .
Q2. Montrer que l'application est un endomorphisme de .
Q3. Diagonalisation dans le cas où .
a) Vérifier que est la matrice de l'endomorphisme dans la base canonique ( ) de et justifier, sans calcul, que est diagonalisable.
b) Montrer que -1 et 1 sont les seules valeurs propres de la matrice et, pour chacune d'entre elles, donner une base du sous-espace propre associé.
c) Déterminer alors une base de formée de vecteurs propres de . Préciser la matrice de dans cette base.
Q4. Étude du cas général.
On ne suppose plus que est égal à 1 . On définit la famille ( ) de polynômes de par :
a) Justifier que est une symétrie. Que peut-on en déduire pour le spectre de ?
b) Vérifier que ( ) est une famille de vecteurs propres de .
c) Montrer que la famille ( ) est libre dans .
d) En déduire que l'endomorphisme est diagonalisable et préciser la dimension de chacun de ses sous-espaces propres.
Partie II - Recherche des racines d'un vecteur propre de
Q5. Préliminaires.
On définit la suite de polynômes par : et, pour tout entier supérieur ou égal à 2 :
a) Déterminer les polynômes et .
b) Montrer par récurrence que, pour tout entier strictement positif, est un polynôme de degré vérifiant, pour tout nombre complexe non nul, l'égalité :
c) Pour tout réel , déterminer, s'ils existent, les complexes non nuls qui vérifient la relation suivante : . On distinguera trois cas.
Q6. Étude des racines d'un vecteur propre de .
Dans cette question, désigne un polynôme de degré défini par : , tel que soit non nul et tel que, pour tout entier de l'intervalle , l'on ait : .
a) Vérifier que est vecteur propre de et préciser la valeur propre associée.
b) Justifier que 0 n'est pas racine de .
c) On définit le polynôme par : .
Soit un complexe non nul, on pose : .
Exprimer en fonction de .
En déduire que est nul si et seulement si est nul.
Quel est l'intérêt de ce résultat dans la recherche des racines de ?
d) On suppose dans cette question que est égal à 3 et que est défini par : .
i. Vérifier que .
ii. En déduire les racines de puis celles de .
Partie III - Étude d'une variable aléatoire
Dans cette partie, désigne un entier supérieur ou égal à 2 .
On désigne par l'ensemble des éléments de dont les coefficients sont des entiers de l'intervalle et par l'ensemble des parties de .
On munit de la probabilité uniforme; autrement dit, pour tout polynôme de :
On admet que cela revient à choisir de manière équiprobable et indépendante chacun des coefficients du polynôme dans .
On rappelle que, si sont réels et est le polynôme défini par :
on définit le polynôme par :
Si est un élément de et un entier naturel non nul, on dit que et présentent coïncidences lorsqu'il existe exactement entiers dans vérifiant .
Par exemple, pour et , on a:
; ; ; ; .
Il y a donc exactement trois indices et 4 pour lesquels .
On définit alors l'application qui à tout polynôme de associe le nombre de coïncidences entre et , et on admet que est bien une variable aléatoire sur ( ). Dans l'exemple précédent, on a .
Q7. Description d'un cas simple.
Dans cette question seulement, on suppose que est égal à 1 et que est égal à 2 .
a) Justifier que est de cardinal 8. Écrire les huit éléments de , puis déterminer la loi de .
b) Calculer l'espérance de et montrer que sa variance est égale à 1 .
Q8. Simulation informatique.
On rappelle que la commande . arange du module numpy renvoie un vecteur contenant les entiers de 1 à et que la commande plt.bar(X,Y) suivie de plt.show() affiche un diagramme en bâtons dont les barres sont situées aux abscisses listées dans le vecteur et dont les hauteurs sont données par le vecteur .
On dispose par ailleurs :
d'une fonction aleaQ qui renvoie un polynôme choisi au hasard et de manière équiprobable dans et dont les différents appels sont indépendants entre eux;
d'une fonction Z qui prend en argument un polynôme et qui renvoie .
On considère le programme suivant :
n, p = 2, 3
Support = np.arange(1, 2*n+2)
N = 10000
Obs = np.array([Z(aleaQ()) for _ in range(N)])
def tabeff(Obs):
eff = np.zeros(len(Support))
for i in Support:
eff[i-1] = sum(Obs == i)
return eff
plt.bar(Support, tabeff(Obs)/len(Obs))
plt.show()
a) Que fait la partie du programme située à la ligne 5 ?
b) Que fait la fonction tabeff ? On justifiera précisément et on commentera en particulier la ligne 10.
c) Le programme affiche le diagramme suivant :
Que représente-t-il?
On justifiera précisément en s'appuyant notamment sur la ligne 13.
Q9. Étude générale de la variable aléatoire .
On revient au cas général : est strictement positif et est supérieur ou égal à 2 .
Pour tout entier dans , on définit les variables aléatoires et de la manière suivante : pour tout polynôme de ,
est le coefficient d'indice du polynôme (noté précédemment);
vaut 1 si le polynôme présente une coïncidence à l'indice et vaut zéro sinon, autrement dit : .
a) Quelle est la loi de ?
b) Soit . Justifier que suit la loi uniforme sur .
Donner son espérance et sa variance.
c) Soit . Montrer que .
Indication : on pourra utiliser la formule des probabilités totales.
d) En déduire, pour tout , la loi de , puis reconnaître, en justifiant, celle de .
e) Écrire en fonction de et de . En déduire l'espérance et la variance de .
EXERCICE
Dans tout l'exercice, on désigne par :
une variable réelle;
une fonction de la variable définie sur une partie de et , si elles existent, les dérivées première et seconde de .
Le but de cet exercice est d'étudier différentes propriétés d'une solution sur de l'équation différentielle:
Plus précisément, on s'intéresse à la recherche d'une solution de ( ) développable en série entière et on exprime, de deux façons différentes, cette solution sous la forme de l'intégrale d'une fonction dépendant d'un paramètre.
Q10. Dans cette question, on étudie l'existence d'une solution de ( ) développable en série entière et on note son rayon de convergence.
a) On suppose tout d'abord qu'une telle solution existe.
i. Montrer que pour tout entier naturel .
ii. Justifier que pour tout entier naturel .
iii. Déterminer, pour tout entier naturel , l'expression de en fonction de et de .
b) Conclure quant à l'existence d'une solution de ( ) développable en série entière et préciser son rayon de convergence.
Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de ( ) qui sont développables en série entière?
Soient la fonction des deux variables et définie sur par :
et la fonction des deux variables et définie sur par :
Q11. Montrer que l'intégrale est convergente quel que soit dans .
On pose pour réel :
De plus, désigne désormais l'unique solution de ( ) développable en série entière et vérifiant .
Q12. À l'aide d'un changement de variable, montrer que pour tout réel .
Q13. Dérivées successives de .
a) Soient un réel et . Montrer que pour tout entier naturel et pour tout réel .
b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel , la fonction existe et est continue sur , et donner son expression en fonction de et de .
c) Soit . Montrer l'existence d'une fonction continue et d'intégrale convergente sur telle que, pour tout et tout , .
On admet dès lors que la fonction est indéfiniment dérivable sur et que pour tout entier naturel et pour tout réel :
Q14. Montrer que est développable en série entière sur .
Indication : on pourra utiliser une formule de Taylor.
Q15. On note respectivement et les dérivées première et seconde de .
a) Calculer .
b) En utilisant l'expression de fournie dans la question Q13, montrer que :
Indication : on pourra utiliser une intégration par parties.
c) Pour tout réel , exprimer en fonction de , respectivement de .
Q16. Étude de en .
On fixe un réel .
a) Montrer qu'il existe tel que, quel que soit le réel :
b) étant ainsi choisi, montrer à l'aide d'une intégration par parties que :
c) En déduire : .
On admet que pour tout réel :
Q17. Déterminer .
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