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CCINP Modélisation TSI 2021

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CCINP
Année
2021
Filière
TSI
Matière
Physique Modelisation
CCINP TSICCINP 2021TSI Physique ModelisationPhysique Modelisation 2021
2025_09_04_31e80f41732b965d67b8g

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MODÉLISATION

Durée : 3 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux parties qui peuvent être traitées indépendamment.

Si besoin, le candidat pourra admettre le résultat d'une question et l'utiliser dans les questions suivantes.

Étude d'un système dish-stirling

Présentation générale

Le support étudié (figure 1) est une unité de conversion d'énergie solaire en énergie électrique constituée principalement :
  • d'un miroir parabolique (" dish " en anglais) qui concentre le rayonnement solaire sur un récepteur plan situé en son foyer;
  • d'un moteur à air chaud de type Stirling dont la source chaude est fournie par le récepteur précédent;
  • d'un générateur électrique entraîné par le moteur.
Un dispositif de poursuite (ou tracking) permet également d'orienter le miroir afin de suivre le mouvement du soleil.
Figure 1 - Unité dish-stirling

Objectifs de l'étude

Dans la partie I du sujet, on présente un concept innovant de moteur Stirling dont on effectue ensuite une modélisation thermomécanique.
Dans la partie II, on propose de déterminer les caractéristiques géométriques et les performances optiques d'un miroir parabolique.

Partie I - Moteur Stirling " double effet " de type

Figure 2 - Structure du moteur Stirling " double effet "
Le fonctionnement du moteur Stirling " double effet " (figure 2) est caractérisé par le travail en opposition de phase thermodynamique de ses deux moteurs Stirling .
Chaque moteur est ainsi muni d'un déplaceur dont le mouvement résulte des échanges thermiques et des transferts de gaz entre les chambres froides et chaudes. Les variations de pression de chaque moteur permettent alors de mouvoir le piston 3 qui transforme cette énergie mécanique en énergie électrique via la génératrice électrique. Afin d'optimiser le rendement, il est important de faire fonctionner les deux moteurs en opposition de phase et donc de contrôler le déplacement du piston 3.
Ainsi, le moteur Stirling " double effet " évite une grande partie des pertes mécaniques liées au système d'entraînement, des usures et notamment des bruits engendrés par des liaisons mécaniques externes.
Le moteur Stirling à piston libre " double effet " présente les avantages suivants :
  • la cinématique est réduite à l'extrême; il n'y a que 3 solides en mouvement avec l'absence totale de liaisons mécaniques (ex. bielle, ressort...);
  • la compacité du moteur Stirling " double effet " devrait permettre d'obtenir un meilleur rendement par rapport à des moteurs Stirling " simple effet ".
Néanmoins, cette technologie présente un certain nombre de défis :
  • le fonctionnement en mode opposition de phase thermodynamique des deux moteurs élémentaires est difficile à maîtriser;
  • la position instantanée du piston 3 doit être maîtrisée par une commande dont la variable de commande est la force électromagnétique de la génératrice électrique;
  • les positions des deux déplaceurs 1 et 2 restent " libres " et résultent du couplage thermomécanique non-linéaire avec le piston 3.

I. 1 - Modélisation de la chaîne thermomécanique

Figure 3 - Modèle thermomécanique du moteur 1
Figure 4 - Déplaceur seul

Notations et hypothèses associées au modèle :

  • et sont respectivement la pression, la température et le volume de la chambre froide;
  • et sont respectivement la pression, la température et le volume de la chambre chaude;
  • et sont respectivement la pression et le volume de la chambre B;
  • et sont respectivement la pression et le volume de la chambre M;
  • l'action de la génératrice sur le piston 3;
  • le repère lié au bâti ;
  • les liaisons sont supposées parfaites et l'action de la pesanteur est supposée négligeable devant les autres actions mécaniques.

Modèle mécanique d'un moteur Stirling " libre "

Pour établir le modèle du moteur Stirling " double effet ", nous ne considérons tout d'abord que le moteur 1 (figures 2 et ). Ce modèle sera par la suite complété par analogie avec le moteur 2. Le système présente alors deux pièces mobiles :
  • le déplaceur 1 de masse , de section , de section interne et de centre de gravité . On note avec la position de référence du déplaceur et son déplacement par rapport à cette position de référence;
  • le piston 3 de masse , de section et de centre de gravité . On note avec la position de référence du piston et son déplacement par rapport à cette position de référence.
    Un premier principe fondamental de la dynamique appliqué au piston 3 dans le repère a permis d'obtenir une première loi de mouvement pour le déplacement du piston :
Q1. Étant donné la forme cylindrique du déplaceur 1 et du bâti 0 (figures et ), proposer une liaison cinématique pour modéliser le contact entre 1 et 0 , lorsqu'il n'est pas en butée. Argumenter ce choix. Donner alors la forme du torseur des actions mécaniques dans la base .
Q2. Réaliser le bilan des actions mécaniques s'exerçant sur le déplaceur 1 en prenant soin d'exprimer chaque torseur d'action mécanique en fonction des paramètres du système.
Q3. Quelle équation du principe fondamental de la dynamique permet d'obtenir la relation suivante :

Modèle thermodynamique des gaz

Le modèle mécanique est étroitement couplé au modèle thermodynamique des gaz des chambres chaude et froide . De plus, la quantité de gaz à l'intérieur de la chambre B est fixe. Il joue le rôle de " ressorts de rappel " pour le déplaceur 1. De la même façon, le gaz dans l'espace fermé de la chambre M fait office de ressort gazeux pour le piston 3.
On pose le paramétrage suivant pour définir les différents volumes gazeux du moteur (figure 3) :
  • : volume de référence de la chambre froide et chaude;
  • chambre froide : volume , de pression et de température ;
  • chambre chaude : volume , de pression et de température ;
  • chambre adiabatique B : volume de référence et de pression de référence pour ;
  • chambre adiabatique M : volume de référence et de pression de référence pour .
On négligera le volume de gaz présent dans le régénérateur.

Modèle thermodynamique des chambres froide et chaude

On rappelle qu'un gaz parfait vérifie la relation :
avec la masse du gaz et la capacité thermique massique du gaz. On note la masse de gaz de la chambre froide et , la masse de gaz de la chambre chaude. On supposera que la masse de gaz dans le régénérateur est négligeable.
Q4. On note ici , la masse de l'ensemble des gaz du système : { chambre chaude, chambre froide, régénérateur}. Appliquer le principe de conservation de la masse et exprimer en fonction de et , puis montrer que :
L'approche étudiée est la méthode de Schmidt qui est, en thermodynamique, une méthode d'ordre 1 très utilisée. Pour pouvoir utiliser cette méthode, on considère qu'en régime permanent :
  • les variations des volumes sont sinusoïdales selon le temps, ce qui se traduit par :
  • ;

  • avec respectivement les amplitudes de la course du piston 3 et du déplaceur 1 . On note la pulsation des oscillations mécaniques et le déphasage entre le mouvement du piston et du déplaceur 1;
  • les étapes de détente et de compression sont considérées isothermes;
  • le gaz est idéal : pas de perte de charge ni de fuite.
Si toutes les conditions sont satisfaites, la pression instantanée du gaz de travail au sein du moteur est identique dans les deux chambres soit :
Q5. En utilisant les équations (4) et (5), exprimer en fonction de et .
En prenant les expressions des volumes et définies précédemment, on montre que :
et .
Q6. En supposant de petits déplacements et tels que , réaliser un développement limité à l'ordre 1 de l'équation (6). On mettra le résultat sous la forme :
Préciser alors les expressions de et en fonction de et .

Modèle thermodynamique des chambres adiabatiques B et M

Les chambres B et M subissent des transformations adiabatiques réversibles. Elles jouent le rôle de " ressorts gazeux " à l'intérieur du piston et du déplaceur 1 . On a alors dans ces chambres :
avec l'indice adiabatique du gaz.
Q7. Exprimer la pression instantanée du gaz en fonction du volume instantané , de et des grandeurs de références et .
Q8. Après avoir donné l'expression de en fonction de et des dimensions de la chambre B , exprimer en fonction de et .
Q9. Réaliser un développement limité à l'ordre 1 de l'expression pour des petits déplacements tels que et montrer que :
Exprimer alors en fonction des dimensions de la chambre B .
Pour la chambre M , on obtient de façon analogue :

Modèle thermomécanique du moteur Stirling " double effet "

Différentes sources de frottement (perte de charges, frottement visqueux/sec) sont également prises en compte dans le modèle. On peut alors rassembler les modèles mécaniques (équations (1) et (2)) avec les modèles thermodynamiques des différentes chambres (équations (7), (9) et (10)). Une étude analogue est également menée sur le deuxième moteur. Le modèle se résume à :
où les coefficients et sont des constantes.
Q10. Réécrire le système d'équation (11) et (12) dans le domaine de Laplace. On supposera que les conditions de Heaviside sont respectées.
La fonction de transfert globale du moteur Stirling " double effet " peut se mettre sous la forme :
où les coefficients et s'expriment en fonction des coefficients et .
Q11. L'étude de permet de faire apparaître quatre pôles:
Conclure sur la stabilité du système.

I. 2 - Commande du moteur Stirling " double effet "

La variable de commande du modèle est la force électromagnétique instantanée. Les sorties du modèle sont les mouvements instantanés du piston. La force électromagnétique doit être asservie afin de stabiliser le moteur Stirling au point de fonctionnement nominal. On propose l'architecture suivante :
Figure 5 - Schéma-bloc de l'asservissement en position du piston
Le correcteur présente une action intégrale et une double avance de phase, tel que :
Q12. Rappeler les avantages associés à ce correcteur.
Une simulation du système permet d'obtenir la réponse indicielle de (pour un échelon unitaire :
Figure 6 - Réponse indicielle (adimensionnée) de l'asservissement
Q13. Conclure sur la stabilité de l'asservissement. Puis estimer sa rapidité, sa précision et son amortissement.

Partie II - Étude d'un concentrateur solaire

Le rôle du miroir parabolique est de concentrer le rayonnement solaire au niveau du récepteur (ou absorbeur) du moteur afin d'obtenir une température élevée de la source chaude.
Dans la première sous-partie de l'étude, on justifie le choix d'une surface parabolique également nommée paraboloïde de révolution pour concentrer les rayons réfléchis.
Dans la deuxième sous-partie, on s'emploie à caractériser l'image du soleil, vu comme un disque lumineux, dans le plan focal du miroir.
Enfin la dernière sous-partie s'achève par une estimation de la puissance rayonnée (ou flux énergétique) reçue par l'absorbeur.

II. 1 - Équation de la surface réfléchissante

On recherche une équation de la surface d'un miroir parfait (c'est-à-dire sans absorption) vérifiant la propriété que les rayons du soleil incidents parallèles à une direction donnée possèdent un point de concours après réflexion.
On considère ainsi un rayon lumineux dirigé selon le vecteur unitaire et incident en un point d'un miroir de surface régulière quelconque. Le rayon réfléchi est lui dirigé selon le vecteur également unitaire.
On introduit le vecteur normal au plan tangent à la surface en et de même sens que . Le plan est alors appelé plan d'incidence (choisi arbitrairement dans le cas où et sont colinéaires). Avec vecteur directeur commun au plan d'incidence et au plan tangent, ( ) forme une base orthonormée directe du plan d'incidence.
On définit enfin l'angle d'incidence ( sur la figure 7) et l'angle réfléchi (< 0 sur la figure 7).
Figure 7 - Réflexion sur un miroir dans un cas général
Q14. Rappeler les lois de réflexion de Snell-Descartes. En déduire la relation vectorielle :
On munit l'espace d'un repère cartésien orthonormé direct où l'origine est supposée concentrer, après réflexion, les rayons lumineux initialement dirigés selon .
est le repère cylindrique associé (figure 8) tel que et .
Un point géométrique est alors caractérisé aussi bien par ses coordonnées cartésiennes ( ) que cylindriques ( ) et sa position est donnée par .
On suppose enfin la surface du miroir (notée ) suffisamment régulière pour pouvoir être décrite en premier lieu par l'équation cartésienne où est une fonction de vers . Par abus de notation, on écrira également dans la suite .
Figure 8 - Repères utilisés
Figure 9 - Courbe et plan d'étude
Q15. Soit un point de .
a) Rappeler les expressions de et en fonction de et puis de et en fonction de et .
b) Démontrer, par dérivation de fonction composée, la relation où désigne le vecteur gradient de dirigeant la normale à la surface au point considéré.
c) Montrer que est dans le plan et en déduire que est une surface de révolution d'axe ( ).
On suppose désormais que peut s'écrire sous forme séparable où est une fonction de vers et on restreint l'étude de à une demi-méridienne c'est-à-dire la courbe (figure ) obtenue par l'intersection de et d'un plan méridien pour fixé et peut donc être vue comme la surface engendrée par la rotation de autour de l'axe de révolution .
La courbe est l'ensemble des points de paramètre tels que . On définit en tout point de une base orthonormée directe où est choisi tangent à la courbe, de sorte que et soient colinéaires et de même sens; quant à , il vérifie par construction la relation .
On considère dans la suite un rayon lumineux parallèle à incident au point appartenant à et réfléchi en direction du point .
Par abus de notation, on notera au lieu de et au lieu de .
Q16. Calculer . En déduire que .
Q17. a) Justifier que .
b) Calculer en fonction de .
c) Calculer en fonction de et .
d) Déduire des questions précédentes le signe de et que vérifie l'équation :
Q18. a) Trouver l'unique solution positive de . On justifiera la réponse.
b) Sachant que , déterminer une expression de en fonction de et .
c) Montrer à l'aide du changement de fonction que est solution sur de l'équation différentielle :
Q19. Pour faciliter les calculs et par abus de notation, on écrira au lieu de .
a) Soit . Vérifier que la fonction est solution sur de l'équation (15).
b) Déterminer l'ensemble des primitives sur de .
c) Résoudre l'équation d'inconnue où .
d) On considère la fonction définie sur où est solution de (15). Calculer sa dérivée .
e) Montrer que où , puis en déduire en fonction de .
f) Conclure à propos des solutions de l'équation (15).
Q20. Soit le point de , situé sur l'axe et défini par où , appelée distance focale du miroir, est un réel . On rappelle que pour tout . Montrer que , fonction sur , peut y être définie par :
est donc un arc de parabole. Cette expression de sera conservée dans toute la suite du sujet.
Q21. On souhaite représenter la courbe pour . Déterminer, puis tracer sur la copie des points de en utilisant un pas à partir de . En déduire l'allure de la courbe. On prendra pour les calculs et on adoptera une échelle de pour le tracé. Les coordonnées ( ) des points seront présentées dans un tableau et, concernant , écrites sous forme fractionnaire et décimale approchée à près. Enfin, on indiquera sur la figure, en justifiant la construction, la direction de la normale au point de paramètre .

II. 2 - Caractérisation de l'image du soleil

Compte tenu de la distance de la terre au soleil , ce dernier peut être assimilé à une source lumineuse étendue de la forme d'un disque de rayon associé en première approximation à une densité de flux uniforme sur toute sa surface.
Par conséquent, on considère qu'en chaque point du miroir les rayons incidents et réfléchis forment un cône de révolution d'angle au sommet noté (une minute d'arc valant ). En supposant que l'axe du miroir pointe vers le centre du soleil, l'axe du cône incident est donc parallèle à l'axe optique ( ) et l'axe du cône réfléchi passe, comme vu en II. 1 et représenté sur la figure 10a, par son foyer .
On cherche alors à déterminer les caractéristiques de l'image formée lorsque le cône réfléchi rencontre le plan focal (figure 10b).
Soit un point de la courbe où est la fonction définie sur par l'équation (16). On introduit l'angle et on pose avec et .
peut donc être considérée comme une courbe paramétrée indifféremment par ou .
Figure 10 - Réflexion du soleil sur le miroir
Q22. Par abus de notation et pour faciliter les calculs sera noté .
a) Exprimer les coordonnées ( ) du point appartenant à en fonction de ses coordonnées .
b) Montrer que est solution de .
c) En déduire que est une fonction de définie sur par :
Q23. On rappelle que . On note le rayon d'ouverture de la parabole que l'on prend égal à ; le point de paramètre (ou de manière équivalente ) est donc situé à l'extrémité de la courbe , c'est-à-dire sur le bord du miroir. En déduire une expression de en fonction de ainsi que les valeurs de et correspondantes. On vérifiera également que . Ces valeurs seront conservées dans la suite.
Q24. Soit un point du cône de sommet appartenant à , d'axe et de demi-angle au sommet (figure 10b).
a) Montrer que vérifie la relation .
On recherche une équation de la courbe notée issue de la section du cône par le plan focal. On pose à cet effet ( est dans le plan focal) et on rappelle que .
b) Montrer que .
c) Montrer également que l'on a .
d) En déduire après simplification l'équation homogène verifiée par et .
représente donc le contour de l'image du soleil issue d'un point de la parabole dans le plan focal; le plan focal ayant pour vecteur normal , sa projection est une ellipse.
L'équation précédente peut s'écrire sous la forme où les paramètres et sont fonctions de sur l'intervalle d'étude , pour lequel on admettra que , avec :
On propose par la suite d'approximer ces fonctions par d'autres d'expressions plus simples.
Pour on considère par exemple l'approximation définie par obtenue en écrivant . On montre alors que l'erreur relative commise sur , donnée pour tout , est négligeable (moins de ).
En procédant de la même manière pour et , on produit les approximations et telles que et pour lesquelles on ne demande pas de justification.
La courbe est donc désormais approchée par une courbe d'équation dans le repère .

II. 3 - Performances du concentrateur

Une mesure de la puissance rayonnée reçue par l'absorbeur du moteur situé dans le plan focal s'obtient en sommant les contributions en flux lumineux de l'ensemble des points du paraboloïde sur la surface délimitée par , c'est-à-dire le disque de centre et de rayon correspondant à l'image du soleil réfléchie depuis le sommet d'une parabole .
Seule une fraction de la puissance émise depuis un point de la surface est reçue au niveau du disque. Cette quantité est proportionnelle au rapport où et désignent respectivement les aires délimitées par et .
La figure 11 représente un quart de la courbe pour un . Par symétries, l'aire est donc le quadruple de l'aire délimitée par
Figure 11 - Arc de courbe
On propose le paramétrage suivant pour l'arc considéré :
Q25. Donner une interprétation de la quantité puis la calculer. En déduire que .
Figure 12 - Anneau élémentaire
On considère maintenant la puissance émise par un anneau élémentaire situé sur le paraboloïde, paramétré par l'angle et de longueur différentielle (figure 12).
L'anneau en question est constitué de facettes élémentaires de normale telle que et d'aire avec la longueur de l'élément de courbe associé.
La puissance émise par une facette est donnée par l'expression où représente sa section apparente, est l'éclairement solaire au sol (en ) et est un facteur correctif prenant en compte les pertes diverses (absorption atmosphérique, ...).
Tous les points de l'anneau générant une image du soleil de même aire , l'absorbeur reçoit une fraction de la puissance émise par l'anneau donnée par .
Q26. Par abus de notation, on écrira pour et pour .
a) Montrer que est unitaire et vérifie .
b) Montrer que .
c) Montrer également que .
d) En déduire que .
e) Calculer en fonction de et la puissance totale reçue par l'absorbeur en supposant la parabole totalement éclairée.
f) Effectuer l'application numérique pour et .

FIN

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