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CCINP Modélisation TSI 2024

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CCINP
Année
2024
Filière
TSI
Matière
Physique Modelisation
CCINP TSICCINP 2024TSI Physique ModelisationPhysique Modelisation 2024
2025_09_04_cad06e98ca32721e414cg

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MODÉLISATION

Durée : 3 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois parties indépendantes.
On pourra considérer pour les applications numériques que .

Stockage électromécanique de l'électricité

Partie I-Demande d'électricité en France

En 2050, l'électricité pourrait représenter environ un tiers de l'énergie consommée au total. Les réseaux de transmission et de distribution de cette énergie sont donc cruciaux; on constate une inquiétude croissante sur la sécurité de l'approvisionnement en électricité dans un contexte de changement climatique. L'électricité ayant pour particularité de ne pas pouvoir être stockée en grande quantité de façon économique pour l'instant, la quantité d'électricité produite et injectée dans le réseau doit être égale à tout moment à la quantité d'électricité consommée.
La modélisation de la consommation journalière d'électricité en France peut être utile pour prévoir la demande suivant le temps et adapter la production à la demande. Cette question est majeure à notre époque. La consommation journalière d'électricité en France est dépendante de la variable temps. Le graphique de la figure 1 représente la consommation d'une journée type en fonction de l'heure. Nous ne nous intéresserons pas à la méthode expérimentale d'obtention de cette courbe mais à une modélisation possible par une fonction polynomiale de la fonction consommation journalière d'électricité en France.
Plusieurs méthodes d'approximation dans cette partie vont être proposées pour répondre à cette problématique. Les parties sont indépendantes et peuvent être traitées dans l'ordre de choix du candidat.
Figure 1 - Exemple de l'évolution de la consommation journalière d'électricité en France [source ADEME]
On note la fonction de la consommation journalière en France en fonction du temps en heure. On supposera que est une fonction continue sur .
Q1. On se propose de considérer une fonction définie sur [ ] par :
Montrer que .
Q2. Justifier que la fonction est dérivable sur et admet pour dérivée :
Q3. Donner les variations de (on donnera des valeurs approchées des valeurs où change de variations) et comparer au graphique de la figure 1.
On pourra utiliser que : .
Une telle fonction n'est évidemment pas satisfaisante. Une meilleure idée est l'interpolation polynomiale de Lagrange. Celle-ci contraint les valeurs du polynôme à coïncider avec celles de la fonction en un nombre fini de points.
Soient et des réels deux à deux distincts appartenant à l'intervalle [0; 24]. Pour tout entier appartenant à , on appelle -ème polynôme interpolateur de Lagrange, le polynôme :
Q4. Dans cette question uniquement, on se restreint à avec et . Écrire les polynômes de Lagrange.
Q5. Soit un entier fixé appartenant à . Montrer que le polynôme est de degré .
Q6. Soient et deux entiers fixés dans avec .
Montrer que et .
Q7. Montrer que la famille formée par les polynômes avec appartenant à forme une base de l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à .
Q8. En déduire que :
est l'unique polynôme de , tel que pour tout dans .
Q9. Écrire en langage Python une fonction lagrange ( ) qui prend comme arguments un entier , une liste de flottants correspondant à la séquence , un flottant et qui renvoie le flottant correspondant à .
L'interpolation a ses limites, notamment en termes de convergence, notion que nous n'aborderons pas dans le problème présent. Pour simplifier les calculs, nous nous placerons sur l'intervalle [ ] et non plus [ ].
Une deuxième possibilité est de considérer une distance et de chercher un polynôme de degré au plus tel que la distance à la fonction donnée soit minimale. On souhaite réaliser une approximation au sens des moindres carrés, on choisit donc la distance en moyenne quadratique dont le carré est :
Soient et , deux fonctions continues sur et à valeurs dans . On note :
Q10. Montrer que . é à valeurs dans .
Soit un entier non nul fixé.
On cherche un polynôme à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à , tel que :
Nous allons supposer dans un premier temps qu'un tel polynôme existe.
On pose avec un réel et un polynôme de .
Q11. Expliquer pourquoi l'inéquation (1) est équivalente à l'inéquation suivante :
Q12. En déduire que :
Q13. En faisant tendre vers 0 par valeur positive, montrer que :
Q14. En faisant tendre vers 0 par valeur négative, montrer que :
Q15. En déduire que .
Q16. En déduire que si existe, alors est unique.
Ce polynôme, s'il existe, est appelé approximation de au sens des moindres carrés. Nous allons chercher à construire un tel polynôme en considérant , avec pour tout entier appartenant à un réel.
Q17. Montrer à l'aide de la question Q15 que les coefficients pour vérifient pour :
Q18. En déduire que la matrice du système linéaire d'inconnue associée au uplet précédent est:
Q19. Justifier que la matrice est diagonalisable.
Q20. On admet que 0 n'est pas une valeur propre de la matrice . En déduire qu'il existe un polynôme de degré vérifiant l'égalité établie à la question Q17.
La résolution de ce système est un problème potentiellement difficile, cependant, l'approximation au sens des moindres carrés est de pratique courante.

Partie II - Stockage électromécanique

Une des solutions possibles pour maintenir l'équilibre consommation-production électrique est de stocker l'énergie du réseau lors des pics de production afin de la restituer lorsque la demande augmente sur une journée. Il existe plusieurs types de stockage, on pourra citer entre autres :
  • le stockage électrochimique par batteries;
  • les systèmes de transfert d'énergie par pompage (STEP);
  • le stockage électromécanique ou inertiel.
Le stockage inertiel de l'énergie est une solution intéressante, en particulier dans les dispositifs de production à faible et moyenne puissance. Le stockage inertiel se distingue par sa grande capacité au cyclage (possibilité de cycles de charge/décharge) se traduisant ainsi par une durée de vie élevée et donc un coût de fonctionnement relativement faible par rapport au stockage par batteries ou aux STEP.
On peut également mentionner un contrôle aisé de la charge et de la décharge, une bonne connaissance de l'état de charge (image de la vitesse de rotation), et enfin, un recyclage en fin de vie pouvant être peu coûteux économiquement et énergétiquement.
Le stockage inertiel utilise le plus souvent des volants d'inertie mis en rotation de façon à stocker l'énergie électrique sous forme d'énergie cinétique. Dans cette optique, des centrales inertielles constituées de plusieurs centaines de volants d'inertie ont été développées (figure 2).
Figure 2 - Centrale inertielle de , New-York, © Beacon Power.

II. 1 - Moment d'inertie

On veut pouvoir stocker par volant d'inertie, ce qui représente une énergie de .
Le principe du volant d'inertie consiste à faire tourner un solide 1 dans une enceinte de confinement liée au bâti 0 . On note le repère associé à 0 et on supposera le référentiel associé galiléen. Le solide 1 est un cylindre plein et homogène et on donne :
  • hauteur , rayon ;
  • masse ;
  • centre d'inertie sur son axe de rotation ( );
  • moment d'inertie autour de l'axe ( ).
On note le vecteur rotation du cylindre 1 autour d'un axe fixe (figure 3 ).
Q21. Exprimer l'énergie cinétique d'un tel dispositif en fonction de et de .
Figure 3 - Principaux composants d'un accumulateur inertiel
Afin d'optimiser le fonctionnement du volant d'inertie, on souhaite maintenir une vitesse angulaire minimale . De plus, pour résister aux contraintes mécaniques liées à la rotation du volant, on définit également une vitesse angulaire maximale .
Un cycle classique d'utilisation prendra l'allure suivante :
Figure 4 - Principe du cycle de récupération d'énergie cinétique
L'énergie cinétique employable correspond donc à la différence d'énergie entre les situations de vitesses angulaires maximale et minimale.
Q22. Pour des vitesses de rotation et , exprimer la valeur du moment d'inertie nécessaire afin de disposer des demandés. Réaliser l'application numérique.
Le dispositif pouvant présenter des pertes (cas étudié en sous-partie II.2), on prendra une marge de sécurité avec une valeur de de . La forme du volant d'inertie est imposée : il s'agit d'un cylindre plein et homogène de masse , de hauteur et de rayon .
Q23. Exprimer la masse du cylindre en fonction de sa masse volumique , ainsi que de ses dimensions et .
Le moment d'inertie d'un cylindre autour de son axe de révolution ( ) est donné par la relation :
Q24. Montrer que :
En déduire la valeur du rayon permettant d'obtenir un cylindre de 300 kg .

II. 2 - Auto-décharge

Après une phase de charge, le volant d'inertie doit conserver son énergie cinétique jusqu'à la phase de décharge. Durant cette phase de stockage, différentes pertes dans le mécanisme peuvent dissiper une partie de l'énergie emmagasinée et induire un phénomène d'autodécharge (figure 5).
Figure 5 - Principe du cycle de récupération d'énergie cinétique avec prise en compte des pertes
Pour limiter ces pertes, on envisage d'abord un guidage par roulements pour réaliser la liaison pivot d'axe ( ) entre le cylindre 1 et le bâti 0 .
On a toujours le vecteur rotation du cylindre 1 par rapport au bâti 0 .
On rappelle le paramétrage du cylindre 1 :
  • hauteur ;
  • rayon ;
  • masse ;
  • centre d'inertie sur son axe de rotation ( );
  • moment d'inertie autour de l'axe ( ).
Figure 6 - Schéma cinématique simplifié du système
Un couple résistant modélise les frottements visqueux et secs qui s'appliquent sur le cylindre 1 , tel que . On note alors le couple résistant constant lié au frottement sec et le couple résistant lié au frottement visqueux où est le coefficient de frottement visqueux en supposé constant.
Q25. Identifier qualitativement les éléments mécaniques et phénomènes physiques pouvant être à l'origine de ces différents frottements.
Q26. Préciser le(s) solide(s) isolé(s) et la démarche employée afin de montrer que :
La fonction de variable est dérivable sur .
Q27. Résoudre l'équation différentielle (3) lorsque est une constante réelle et pour la condition initiale .
Q28. Exprimer la durée pour que le système s'autodécharge jusqu'à .
On trouve alors .
Q29. Exprimer la durée d'autodécharge en heure et conclure.

Partie III - Contrôle des paliers magnétiques

Afin de remplacer les roulements et de permettre au volant d'inertie de fonctionner dans une enceinte sous vide, on propose d'utiliser une suspension magnétique axiale. On suppose que des paliers radiaux permettent de maintenir le centrage du volant d'inertie sur son axe de rotation. Il devient nécessaire de contrôler la position axiale du volant suspendu selon , notée .
Dans cette configuration, on considérera uniquement les actions de la pesanteur et du palier magnétique axial sur le volant 1 . On définit :
  • le champs de pesanteur ;
  • la force où est le courant circulant dans le bobinage du palier magnétique et, en et en , deux constantes positives.
    On cherche maintenant à déterminer comment piloter le palier magnétique afin de maintenir une position d'équilibre entre le volant d'inertie 1 et le bâti 0 .
Figure 7 - Modèle du système avec paliers magnétiques
Q30. Réaliser le bilan des actions extérieures s'appliquant à 1 et montrer par une étude dynamique, en prenant soin de détailler la démarche, que :
On note la position d'équilibre du volant d'inertie par rapport au bâti.
Q31. Établir l'expression du courant associée à la position d'équilibre en fonction de et de .
On pose et .
Q32. En déduire une relation entre et , puis montrer que l'on obtient dans le domaine de Laplace, pour des conditions initiales nulles, la fonction de transfert suivante :
avec et , respectivement, les transformées de Laplace de et .
La fonction de transfert (5) permet de traduire le comportement du palier magnétique axial, soit la variation de distance associée à la variation de courant .
Q33. Montrer que le comportement du palier magnétique est intrinsèquement instable.
Q34. Proposer une démarche (sans calcul) afin de corriger ce problème. Illustrer la proposition par un schéma-bloc.

FIN

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