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CCINP Physique 1 MP 2006

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CCINP
Année
2006
Filière
MP
Matière
Physique
CCINP MPCCINP 2006MP PhysiquePhysique 2006
2025_09_04_14850b1b40ee3aefc241g

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Conformément à l'usage, les vecteurs sont notés en caractères gras.

- MECANIQUE -

Le problème étudie différents oscillateurs en vue de l'application du théorème du viriel. Celui-ci affirme en particulier que si un point matériel possède une énergie potentielle vérifiant la propriété suivante : pour tout réel alors il existe la relation suivante entre valeurs moyennes temporelles au cours du mouvement de M à condition que la trajectoire soit bornée.
désigne l'énergie cinétique de M et la valeur moyenne de au cours du temps.
Nous ne considèrerons que des mouvements périodiques donc les moyennes seront calculées sur une période.
Dans tout le problème l'étude est faite dans un référentiel galiléen auquel est associé un repère orthonormé .
Les parties I, II et III sont indépendantes.

I- Oscillateur harmonique dans un champ de pesanteur

Un point matériel de masse pouvant se mouvoir dans la direction (verticale descendante) est fixé à l'extrémité d'un ressort de raideur et de longueur à vide . Le champ de pesanteur est uniforme (figure1). On désigne par la cote de .
Figure (1)
  1. a) Ecrire l'équation du mouvement du point M ; quelle est la pulsation propre du système ?
    b) Déterminer sa position d'équilibre .
    c) Déterminer sachant qu'initialement le point est abandonné sans vitesse initiale de la cote .
  2. a) Déterminer l'énergie potentielle du point en imposant à l'équilibre.
    b) Exprimer l'énergie potentielle en fonction de et k .
    c) Dans le cas du mouvement du 1-c déterminer les valeurs moyennes de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. Quelle relation existe-t-il entre ces deux grandeurs?
    d) Application numérique . Calculer la pulsation des oscillations ainsi que l'énergie potentielle moyenne.

II - Cas d'un système

Un disque de masse , de rayon et de centre peut rouler, dans un plan vertical, à l'intérieur d'un cylindre de centre fixe dans ; on note la distance de O à C . ( ) est homogène de moment d'inertie par rapport à son axe ( ).
Le coefficient de frottement entre le cylindre et le disque est .
est l'axe vertical, le champ de pesanteur est uniforme.
On appelle l'angle entre et et celui entre et la direction où A est un point périphérique de (figure 2).
On suppose que roule sans glisser dans le cylindre.
En outre l'angle reste faible.
Figure (2)
  1. Déterminer l'énergie potentielle de en imposant . En donner une expression approchée au deuxième ordre en .
  2. Etablir la relation reliant et .
  3. Etablir l'expression de l'énergie cinétique de ( ).
  4. L'énergie mécanique du disque est-elle conservée ? Pourquoi ?
  5. Déterminer l'équation du mouvement vérifiée par . La résoudre avec les conditions initiales et .
  6. a) Pour la solution précédente calculer les valeurs moyennes de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique. Que constate-t-on ?
    b) Application numérique : . Calculer l'énergie cinétique moyenne de .

III - Mouvement dans un champ newtonien

On considère un satellite de masse se trouvant à une distance du centre de la terre. On note la constante de gravitation, la masse de la terre et la distance entre et le satellite.
  1. a) Comment s'écrit la force subie par le satellite ?
    b) Déterminer l'énergie potentielle du satellite (avec la convention à l'infini).
    c) Comment s'exprime ici le théorème du viriel ? Quelle propriété de l'énergie retrouve-t-on pour un état lié ?
    d) Dans le cas où la trajectoire du satellite est circulaire de rayon , déterminer sa vitesse .
Pour la suite, le satellite est lancé à une distance , avec une vitesse orthoradiale (orthogonale au rayon vecteur) de module
  1. a) Montrer que le mouvement est plan. Celui-ci est repéré en coordonnées polaires ( ) dans son plan ; montrer que la quantité est constante. Déterminer la valeur de cette constante que l'on notera .
    b) Montrer que la trajectoire est bornée.
    c) Montrer que l'équation polaire de la trajectoire peut s'écrire avec où est une constante que l'on déterminera
    En outre, il est rappelé que dans le cas d'une trajectoire elliptique l'énergie mécanique vaut avec le demi grand axe.
    d) Déterminer le paramètre de la trajectoire du satellite en fonction de .
    e) Déterminer l'excentricité de la trajectoire en fonction de seulement.
    f) Calculer les rayons au périgée et à l'apogée. Représenter la trajectoire en précisant le point de départ, l'axe polaire, les foyers.
  2. a) Exprimer l'énergie cinétique du satellite en fonction de et .
    b) Exprimer de même l'énergie potentielle en fonction de et .
    c) Déduire du théorème du viriel que . Ce résultat vous surprend-t-il ? Que pensez-vous de ?
  3. Pour mieux cerner le résultat précédent on cherche à évaluer les durées de passage du satellite pour un angle passant de à et pour un angle passant de à .
    a) On rappelle la troisième loi de Kepler ; exprimer la période en fonction de et .
    b) Exprimer la durée que met le satellite pour passer d'un angle polaire à ; on donnera le résultat en fonction de la période et d'une intégrale sans dimension.
    si le calcul numérique donne le résultat suivant :
Ce résultat est-il en accord avec celui obtenu au 3c) ?
5. On considère maintenant le mouvement d'un électron dans un atome d'hydrogène en supposant le noyau fixe en O .
L'électron a une masse et une charge avec .
a) Pourquoi la trajectoire de l'électron est-elle, en général, une ellipse ?
b) On se place dans un cas où l'excentricité de la trajectoire est faible ( ).
Comment s'écrit le moment dipolaire instantané de l'atome d'hydrogène?
Proposer une expression approchée du moment dipolaire moyen en fonction du paramètre de la trajectoire et de l'excentricité .
Quelle valeur obtient-on pour et ? Le résultat sera donné en Debye : .
c) Que vaut réellement le moment dipolaire d'un atome d'hydrogène ? Que pensez-vous du modèle précédent?
L'objectif de ce problème est l'étude de différentes détentes d'un gaz réel et d'un gaz parfait.
Les parties B et C d'une part, D et E d'autre part ne sont pas indépendantes.
La partie A , l'ensemble ( ) et l'ensemble ( ) peuvent être traités séparément.

A - Fonctions d'état d'un système fermé

A.1.On rappelle les expressions des différentielles et des fonctions d'état énergie interne et enthalpie d'un système fermé :
A.1.1. Définir les capacités thermiques à volume constant et à pression constante à partir des fonctions et .
A.1.2. Etablir les valeurs des coefficients calorimétriques et pour un système dont l'énergie interne et l'enthalpie ne sont fonctions que de la température.
A.2.On définit les fonctions d'état énergie libre et enthalpie libre d'un système par les relations et .
A.2.1. Exprimer les différentielles et d'un système fermé.
A.2.2. On désigne par l'entropie du système. En utilisant les propriétés des différentielles , et établir les expressions suivantes des coefficients calorimétriques et :

B - Détente de Joule et Gay Lussac d'un gaz réel

Dans un certain domaine de température et de pression, l'équation d'état d'une mole de gaz réel s'écrit :
dans laquelle et sont des constantes ( constante des gaz parfaits).
B.1. Etablir la relation :
B.2. Etablir l'expression de la capacité thermique à volume constant du gaz sachant qu'elle tend vers une valeur , indépendante de , lorsque tend vers l'infini.
B.3. Etablir l'expression de l'énergie interne de ce gaz en fonction de , de et de constantes.
B.4. On fait subir à ce gaz une détente de Joule et Gay Lussac qui fait passer son volume de à .
B.4.1. Préciser les conditions expérimentales qui permettent de réaliser cette détente. En déduire la variation d'énergie interne du fluide.
B.4.2. On note la température initiale du gaz et la variation de température qu'il subit au cours de cette détente.
Sachant que l'on peut considérer , exprimer en fonction de et de constantes.
B.4.3. Que peut-on dire, a priori, de la variation d'entropie du gaz ? Justifier votre réponse.
B.4.4. Application numérique :
.
B.4.4.1. Calculer .
B.4.4.2. Quelle valeur de aurait-on obtenu avec un gaz parfait? Justifier votre réponse.

C - Détente de Joule Thomson (Joule Kelvin) d'un gaz réel

Aux faibles pressions, l'équation d'état du gaz réel défini ci-dessus peut se mettre sous la forme suivante :
C.1.Compte-tenu d'une approximation que l'on peut faire aux basses pressions, montrer que l'enthalpie du gaz peut s'écrire, en fonction des variables et :
C.2.Le gaz subit une détente de Joule Thomson au cours de laquelle il passe d'une zone où il se trouve à la température sous la pression dans une zone où la pression est .
C.2.1. Préciser la caractéristique énergétique de la détente de Joule Thomson.
C.2.2. Exprimer la variation de température du gaz dans le cadre des hypothèses ci-dessus en fonction de et de constantes. On considèrera encore .
C.2.3. Application numérique :

D - Application des principes de la thermodynamique à un système fermé en mouvement

L'objectif de cette étude est d'établir une expression générale permettant de calculer les variations des grandeurs thermodynamiques caractéristiques d'un gaz qui s'écoule dans un élément mécanique : conduite, tuyère, échangeur thermique, turbine, compresseur, etc.
L'évolution d'un fluide gazeux dans une installation industrielle est schématisée par la figure 1 cidessous.
Figure 1
Le fluide gazeux s'écoule dans la direction et le sens de l'axe horizontal .
Le volume délimité par les plans et constitue un volume de contrôle qui peut, éventuellement, contenir une machine : compresseur, turbine, etc.
Le fluide entre dans par une conduite cylindrique dont l'aire de la section droite est notée et dont l'axe, parallèle à , est situé à l'altitude dans le champ de pesanteur. Il en ressort par une conduite cylindrique, dont la section droite a une aire et dont l'axe, parallèle à , est situé à l'altitude dans le champ de pesanteur.
On désigne par le vecteur vitesse des particules fluides et on admet que la viscosité du fluide est négligeable, le vecteur vitesse reste donc constant en tout point d'un plan de section droite perpendiculaire à l'écoulement.
On désigne par et , respectivement, la masse, la pression, la température, l'énergie totale, l'énergie cinétique macroscopique, l'énergie potentielle de pesanteur, l'énergie interne, l'enthalpie et l'entropie du fluide. Les valeurs massiques des différentes grandeurs extensives seront représentées par des lettres minuscules.
Ces grandeurs seront affectées de l'indice 1 ou de l'indice 2 suivant qu'elles caractériseront l'état du gaz à l'entrée ou à la sortie du volume .
D.1. Définir l'énergie totale d'un système thermodynamique.
D.2. Ecrire le premier principe de la thermodynamique, sous sa forme générale, pour un système fermé, en mouvement dans le champ de pesanteur, qui, au cours d'une transformation ouverte, reçoit les quantités d'énergie par transfert thermique et par transfert mécanique.
D.3.A l'instant le système fermé considéré, désigné par sur la figure 1 , occupe le volume compris entre les plans et . Il comprend le fluide contenu dans à cet instant et le fluide qui va entrer dans pendant la durée . Son énergie totale est notée .
A l'instant ce même système, désigné par , occupe le volume délimité par les plans et . Il comprend le fluide contenu dans à l'instant et le fluide qui est sorti de pendant la durée . Son énergie totale est notée .
Entre les instants et le fluide gazeux reçoit les quantités algébriques d'énergie par transfert thermique (chaleur), par transfert mécanique dû au travail des forces de pression d'entrée et de sortie et par transfert mécanique avec une machine qui se trouve dans .
On suppose que le régime stationnaire est atteint et on admet que les pressions et , respectivement en amont de l'entrée dans et en aval de la sortie de , restent constantes au cours du transfert du fluide. Les vitesses et du fluide, dans les conduites d'entrée et de sortie, sont constantes.
D.3.1. désignent la masse volumique, la vitesse du fluide et l'aire de la section droite des conduites, respectivement, à l'entrée et à la sortie de .
Montrer, à partir d'un bilan de masse sur le système fermé considéré, entre les instants et , que l'on a :
L'expression représente le flux de masse à travers la section droite d'une conduite dans laquelle le fluide s'écoule avec la vitesse , c'est-à-dire le débit massique du fluide exprimé en .
D.3.2. On désigne par la masse de fluide qui traverse le volume pendant la durée .
On note l'intensité du champ de pesanteur et on fixe l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur au niveau .
Par application du premier principe de la thermodynamique au fluide gazeux, entre les instants et , établir la relation :

D.3.3. A partir de l'expression établie à la question D.3.2, définir les conditions expérimentales qui permettent de faire subir au fluide une détente de Joule Thomson.

E - Détente d'un fluide gazeux dans une tuyère

Le fluide gazeux se détend, de manière adiabatique, dans une tuyère dans laquelle sa vitesse varie. La tuyère est constituée d'un tube de révolution autour d'un axe horizontal (figure 2 ci-contre).
La section droite, d'abscisse , de la tuyère a une aire variable le long de l'axe . On admet que cette variation est assez lente pour que le vecteur vitesse des éléments de volume du gaz qui s'écoule reste, pratiquement, parallèle à , de même sens et que sa composante ait la même valeur pour tous les éléments de volume situés dans une tranche de gaz, d'abscisse , perpendiculaire à .
Figure 2
On suppose que le régime d'écoulement stationnaire est atteint et on néglige toute perte d'énergie, par frottement, le long des parois de la tuyère.
On note l'enthalpie d'une mole de gaz sous la pression , à la température .
On désigne par la masse molaire du gaz et par sa masse volumique à l'abscisse .
désignent, respectivement, les valeurs de: , dans la section droite d'entrée de surface et dans la section droite de sortie de surface .
E.1. On considère l'évolution d'une mole de gaz entre son entrée dans la tuyère et son passage dans la tranche d'abscisse .
A partir de la relation générale établie à la question D.3.2 et compte tenu des conditions de fonctionnement de la tuyère, établir la relation que vérifient .
E.2. Aucune hypothèse n'est faite sur l'équation d'état du gaz.
On admet que chaque élément de volume du gaz subit, dans la tuyère, une détente adiabatique réversible. Montrer que, dans ces conditions :
E.3. On suppose, maintenant, que le gaz est un gaz parfait pour lequel le rapport est indépendant de la température et on admet que son évolution, dans la tuyère, se produit de manière adiabatique et réversible.
On pose et on désigne par la capacité thermique molaire à pression constante du gaz.
E.3.1. Exprimer en fonction de : et .
E.3.2. Exprimer le débit massique du gaz, à l'abscisse , en fonction de : et .
E.3.3. On suppose que la section d'entrée de surface de la tuyère est très grande. On peut alors considérer .
E.3.3.1. Montrer que, dans ces conditions, le débit massique s'écrit: , expression dans laquelle ne dépend que des caractéristiques du gaz et des valeurs des paramètres relatifs à l'entrée de la tuyère et est une fonction de . On explicitera et .
E.3.3.2. On admet que décroît de manière monotone quand croît.
Après avoir étudié les variations de la fonction pour , montrer que :
E.3.3.2.1. Si est supérieur à une valeur que l'on précisera, la section de la tuyère doit être une fonction décroissante de (tuyère convergente).
E.3.3.2.2. Si est inférieur à , la section de la tuyère doit, d'abord, être une fonction décroissante de puis devenir une fonction croissante de (tuyère convergente - divergente).
Dans ce cas on note et les valeurs de et dans la section la plus étroite de la tuyère.
Exprimer en fonction de et et en fonction de et .
E.3.3.3. Application numérique
Le gaz parfait considéré est de l'air pour lequel . On rappelle que .
E.3.3.3.1. Sachant que bar et , calculer et .
E.3.3.3.2. Calculer, dans les mêmes conditions, la vitesse du gaz, à la sortie de la tuyère, où bar.
Fin de l'énoncé
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