CCINP Physique 2 MP 2010

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le problème d'optique sur les miroirs plans comprend deux parties indépendantes: l'étude de la réflexion, suivie de celle du phénomène d'interférence entre deux ondes. Des applications diverses illustrent ces différentes parties et ne devront pas être négligées.
Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras.

1.1.1. Un rayon lumineux issu d'un point se réfléchit en sur une surface plane et parvient au point B (figure 1).

A partir des lois de Descartes, montrer, par un raisonnement de géométrie, que le chemin optique est minimal, la position des points A et B étant fixée.
1.1.2. Application: Dans le plan , deux rayons lumineux issus du point se réfléchissent sur aux points J et K (figure 2).

Écrire les équations des droites représentatives des rayons réfléchis (1) et (2) en fonction des tangentes des angles et puis calculer les coordonnées du point C , intersection des rayons (1) et (2). Quelle est alors l'image du point A ? En déduire une propriété caractéristique du miroir plan.

Expériences réalisables en «Travaux Pratiques» où l'objet ponctuel A et la source ponctuelle S sont lumineux.
1.2.1. Les miroirs sont parallèles et distants de (figure 3 ).

Un objet ponctuel A situé entre les miroirs à la distance de donne par réflexions successives sur les miroirs et une série d'images sur l'axe . On note l'image de A par réflexion sur ( ), puis l'image de par réflexion sur ( ) puis sur ( ), etc.
Déterminer, en fonction de et , les abscisses et d'origine A , des images et et en déduire celles des images suivant que est pair ou impair. Quel est le nombre d'images que l'on observe ?
1.2.2. Les miroirs forment un angle (figure 4).

Un objet ponctuel A situé entre et est repéré par l'angle . La série d'images ( ) correspond aux rayons réfléchis d'abord sur ( ), tandis que la série ( ) correspond aux rayons réfléchis d'abord sur .
Déterminer les positions angulaires ( ) et ( ) des images et pour pair et impair. Quel est le nombre d'images distinctes observées si avec entier?
1.2.3. Les miroirs sont en position «Michelson» (figure 5).

Dans le trièdre , les points et appartiennent au plan . On donne : .
Les miroirs et sont respectivement parallèles aux plans et . La lame semi-réfléchissante (L), d'épaisseur négligeable, est située dans le plan bissecteur des plans des deux miroirs. Les rayons lumineux transmis par (L) ne sont pas déviés et les rayons réfléchis sur (L) se comportent comme dans le cas du miroir plan.
Les images obtenues et de la source ponctuelle à travers le système optique s'observent dans la direction Oypar un observateur situé dans les négatifs. On note :

1.2.3.1. Préciser les axes sur lesquels se trouvent les images et puis déterminer leurs positions en exprimant les valeurs de: et .
1.2.3.2. Le miroir est translaté de 1 cm vers les positifs. Recalculer les quatre valeurs précédentes.
1.2.3.3. Le miroir ramené à sa position initiale, subit une rotation d'un angle (sens inverse du sens trigonométrique). Représenter schématiquement les positions des images et .

1.3.1. Association en «coin de cube»

Trois miroirs plans sont associés pour former un trièdre rectangle Oxyz. Un rayon lumineux de vecteur unitaire se réfléchit successivement sur chacun des trois miroirs. Exprimer en fonction des composantes de , les vecteurs unitaires et après réflexions respectives sur les miroirs plans , Oyz et Oxy. Que peut-on en conclure ?
1.3.2. Application: Réflecteurs lunaires.

Depuis l'année 1969, où des réflecteurs à «coin de cube» ont été déposés sur la lune par les sondes soviétiques (Lunakhod) et par les missions américaines (Apollo), la télémétrie Terre-Lune par impulsion laser s'est affinée pour déterminer avec précision la distance Terre-Lune ( ). On envoie une impulsion lumineuse à l'aide d'un laser dirigé vers la Lune, qui tombe sur le réflecteur et qui se trouve réfléchie vers son point de départ sur la Terre. Point de départ et point d'arrivée du signal sont au niveau du foyer d'un télescope placé à la surface de la Terre.
1.3.2.1. Calculer cette distance , sachant que le temps écoulé entre l'émission et la réception du signal est de : . Vitesse, supposée exacte, de la lumière dans le vide : .
1.3.2.2. On cherche maintenant à estimer le rapport entre l'énergie détectée au retour par rapport à l'énergie envoyée au départ. On détermine un rendement «aller» rapport entre l'énergie reçue par le réflecteur et l'énergie émise par le laser, qui sera pris égal au rapport des aires : avec aire du réflecteur lunaire et aire de la tache lumineuse du faisceau laser sur la Lune. De même le rendement «retour» avec aire du télescope et aire de la tache lumineuse réfléchie sur la Terre par le réflecteur lunaire. Quel est le rapport entre l'énergie émise par le laser et celle reçue en retour par le télescope ? On suppose qu'il n'y a pas de perte à la réflexion sur les miroirs et on néglige l'effet de l'absorption atmosphérique.

Données : Ouverture du faisceau laser, cône d'arc
Aire du réflecteur lunaire :
Ouverture du faisceau réflecteur, cône "d'arc
Diamètre du télescope :
Distance Terre-Lune :

On considère le dispositif interférentiel du miroir de Lloyd composé d'un miroir plan , de largeur et d'un écran placé en B , orthogonalement au plan du miroir. Une source ponctuelle S , située à une hauteur au-dessus du plan du miroir et à une distance de l'extrémité A du miroir, éclaire celui-ci sous incidence rasante ( ), d'une lumière de longueur d'onde . Les faisceaux, direct et réfléchi par le miroir, contribuent aux interférences observées en un point de l'écran (figure 6, page suivante).

2.1.1. Ce dispositif est-il à division du front d'onde ou à division d'amplitude ? Quelle est la conséquence sur les intensités et des faisceaux issus des sources secondaires et ?
2.1.2. Positionner les sources secondaires et dans ce dispositif interférentiel et délimiter le champ d'interférences dans le plan de la figure 6. Contrairement au rayon direct, le rayon réfléchi subit, lors de la réflexion, un déphasage de . Ces sources secondaires sont-elles cohérentes? synchrones? en phase?
2.1.3. Déterminer la différence de marche optique et l'ordre d'interférence au point en fonction de et .
2.1.4. En déduire l'expression de l'intensité lumineuse en M. Quelle est la forme des franges obtenues ? Déterminer la position et la nature de la frange centrale.
2.1.5. Exprimer l'interfrange et en déduire le nombre N de franges que l'on peut observer sur l'écran en fonction de et .
Application numérique : Calculer et , nombre de franges brillantes, sachant que : et .
2.1.6. Application: Un bateau en mer à 10 km de la côte veut capter une émission radio FM de fréquence 100 MHz . Le faisceau parallèle, provenant de l'émetteur situé sur la côte, se réfléchit en partie sur la mer et le dispositif s'identifie à celui du miroir de Lloyd (figure 7).

2.1.6.1. Par mer calme, celle-ci se comporte comme un miroir parfait : pour quelle raison l'émission de radio est-elle mal perçue quand l'émetteur est situé à une hauteur de 10 m et la perception bien meilleure quand celui-ci se trouve sur une colline à une hauteur de 700 m ? On justifiera la réponse en calculant l'interfrange ' au niveau du bateau qui fait office d'écran. Ce calcul nécessite celui de la différence de marche géométrique (à démontrer), de la différence de marche optique , de l'ordre d'interférence et éventuellement celui de l'intensité vibratoire . L'interfrange ' s'exprimera en fonction de la longueur d'onde émettrice ' et de l'angle indiqué sur la figure 7.
2.1.6.2. Par mer agitée, celle-ci se comporte comme un miroir imparfait : la vibration propagée par le faisceau parallèle est perpendiculaire au plan d'incidence, avec un facteur de réflexion du miroir imparfait . Exprimer, en fonction de (intensité du faisceau direct) et (intensité du faisceau réfléchi) puis en fonction de , le contraste .
Calculer pour . La perception des ondes est-elle bien contrastée quand l'antenne réceptrice se déplace le long du mât du bateau?

On considère le système interférentiel des miroirs de Fresnel (figure 8). Les miroirs et , d'arête commune ( ), font entre eux un angle 'et sont éclairés par une source ponctuelle S située à la distance de , dans le plan de symétrie du système perpendiculaire à ( ). Les miroirs donnent de deux images et . Les interférences sont observées dans un plan (E) parallèle à ( ) et perpendiculaire au plan médiateur de à la distance de ( ). La position d'un point P sera repérée par sa distance à l'axe ( ' ), intersection du plan médiateur de avec (E).

2.2.1. La source (laser ) émet de la lumière monochromatique de longueur d'onde .
2.2.1.1. Exprimer la différence de marche optique et l'intensité lumineuse dans le plan (E) en fonction de et . ( : intensité commune des sources secondaires).
2.2.1.2. Déterminer les expressions littérales et les valeurs numériques de l'interfrange et de la largeur du champ d'interférences.
2.2.2. La source S (lampe spectrale) émet deux radiations lumineuses de même intensité et de longueurs d'ondes et (doublet jaune du mercure).
2.2.2.1. Établir l'expression de l'intensité en un point P de (E) et montrer qu'elle s'écrit sous la forme :
où l'on définira les fonctions et .
2.2.2.2. Montrer que, en théorie, des mesures sur le graphe de l'enregistrement de permettraient de déduire les valeurs des deux longueurs d'ondes. Le dispositif étudié ici permet-il effectivement de calculer et ? Justifier votre réponse.

Le problème d'électromagnétisme comprend deux parties indépendantes : une première partie «Onde quasi-monochromatique» comme approches mathématique et physique de l'onde monochromatique, suivie d'une seconde partie où deux plans conducteurs parallèles se comportent soit en «résonateur électromagnétique», soit en «guide d'ondes» pour une onde qui se propage à l'intérieur de ces plans.

Représentation des grandeurs scalaires : et vectorielles :
En notation complexe ces grandeurs sont soulignées :
Notation du produit scalaire ( ) et vectoriel ( ) des deux vecteurs et .
Célérité des ondes dans le vide :
Perméabilité du vide :
Permittivité du vide :

Une onde plane progressive monochromatique : (où ) d'amplitude en tout point, de pulsation et de vecteur d'onde , se propage à la vitesse dans tout l'espace, la variable prenant toutes les valeurs de l'intervalle . Cette onde est mathématiquement acceptable si elle satisfait à l'équation de propagation des ondes et physiquement acceptable si l'énergie transportée par cette onde à chaque instant est finie.
1.1. L'onde est-elle solution de l'équation des ondes? Vérifie-t-elle la condition énergétique?
1.2. On construit une nouvelle fonction en superposant deux ondes planes progressives monochromatiques de fréquences voisines, de même amplitude et se déplaçant ensemble à la même vitesse :

1.2.1. Montrer que en exprimant sous sa forme réelle. Quelle est l'expression de la vitesse du maximum de l'amplitude de l'onde résultante ?
1.2.2. L'onde est-elle solution de l'équation des ondes? Vérifie-t-elle la condition énergétique et en quoi diffère-t-elle de ?
1.3. En superposant un plus grand nombre d'ondes monochromatiques de fréquences voisines et de même amplitude, on parvient à la notion de «paquet d'ondes» ou «d'onde quasimonochromatique où les vecteurs d'ondes sont contenus dans un petit domaine de
valeur centrale . L'onde résultante de la superposition de p ondes sera avec compris dans l'intervalle , ce qui revient à imposer à l'amplitude une variation représentée sur la figure 1 .

En augmentant le nombre des ondes monochromatiques du paquet d'ondes, le vecteur d'onde finit par varier continûment sur le domaine d'extension et l'expression de la fonction d'onde devient :

1.3.1. À l'aide d'un développement limité (à l'ordre 1) de la relation de dispersion autour de avec , exprimer en fonction de (vitesse de phase) et (vitesse de groupe), vitesses calculées en .
1.3.2. En déduire que l'onde quasi-monochromatique s'écrit sous la forme :

où l'on exprimera .
1.3.3. Dans , quel est le terme qui suscite le caractère monochromatique de l'onde? Quelle relation doit-il exister entre la constante et le domaine pour obtenir une condition énergétique physiquement acceptable de ? Que peuton conclure quant à la vitesse de propagation de l'énergie?
Donnée : .
1.3.4. Pour une onde quelconque, montrer que peut s'exprimer en fonction de et .
Application : Dans le cas d'ondes électromagnétiques se propageant dans un guide d'ondes, la vitesse de phase est donnée par la loi de dispersion : . Calculer vg. Commentaire.
2. Onde entre deux plans parfaitement conducteurs.

Dans l'espace rapporté au repère orthonormé direct , on définit la base ( ).
On dispose de deux plans métalliques parallèles au plan et d'équations et . Dans l'espace vide entre ces plans conducteurs, on étudie la propagation d'une onde électromagnétique sinusoïdale de pulsation et polarisée rectilignement suivant . Suivant le sens de propagation de l'onde, les deux plans métalliques joueront le rôle de «résonateur électromagnétique » (figure 2) ou de «guide d'ondes» (figure 3).

2.1. Montrer que dans un conducteur parfait, en l'absence de champ statique, nous avons : (champ électrique, champ magnétique, densité volumique de courant et densité volumique de charges).
2.2. Compléter les quatre relations de passage ci-après concernant les champs et au niveau de la surface d'équation entre le conducteur parfait (milieu 1) et le vide (milieu 2). Les composantes de et seront indicées (tangentielles) et (normales) et nous poserons et respectivement la densité surfacique de charges et le vecteur surfacique de courant.
Relations :
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4)
2.3. Montage en «résonateur électromagnétique» (figure 2)

L'onde électromagnétique incidente ( ), polarisée rectilignement et parallèlement à , se propage vers le métal dans le sens du vecteur d'onde . En notation complexe, le champ électrique incident est donné par : .
2.3.1. Déterminer, à l'aide de l'équation de structure d'une onde plane, le champ magnétique incident .
2.3.2. En utilisant les relations de passage des composantes du champ électrique, déterminer le champ de l'onde réfléchie sur le plan conducteur d'équation , et en déduire les champs électrique et magnétique de l'onde réfléchie en tout point de l'espace.
2.3.3. Exprimer le champ électrique total et le champ magnétique total à l'instant en un point de la cavité. En déduire le rapport des modules des champs complexes en fonction de et .
2.3.4. Montrer que la fréquence de l'onde dans cette cavité ne peut prendre que des valeurs discrètes exprimées à l'aide de l'entier .
Application numérique : Calculer la fréquence propre minimale de ce résonateur pour une distance entre les plans métalliques.

Les résultats des quatre questions suivantes seront exprimés en fonction de , a et pour .
2.3.5. Déterminer le vecteur de Poynting de l'onde résultante et en déduire sa moyenne temporelle . Commenter le résultat.
2.3.6. Calculer la densité volumique d'énergie électromagnétique puis sa moyenne temporelle en fonction de et .
2.3.7. Déterminer le vecteur densité surfacique de courant qui parcourt à l'instant la plaque métallique, à l'interface métal-vide, en .
2.3.8. En déduire, en fonction de et , la pression électromagnétique moyenne temporelle exercée par l'onde sur cette plaque, sachant que est la force de Laplace exercée sur l'élément de surface du plan métallique d'équation .
Application numérique : On donne la valeur ; calculer et .

On considère une onde électromagnétique ( ), progressive, monochromatique, se propageant dans le vide entre deux plans conducteurs distants de a, suivant la direction de et telle que le champ électrique reste parallèle aux deux plans. On impose que la forme de est : .
2.4.1. Exprimer l'équation de Maxwell-Faraday et en déduire que est de la forme : , sachant que l'on exclut de toute composante statique. Expliciter les fonctions et . Justifier l'attribution du sigle «T.E» à cette onde.
2.4.2. Exprimer l'équation de Maxwell-Ampère et en déduire l'équation différentielle vérifiée par l'amplitude du champ électrique. Les champs et vérifient-ils les deux autres équations de Maxwell ? Justifier votre réponse.
2.4.3. Résoudre l'équation différentielle vérifiée par et donner la solution dans le cas où , sachant que le champ électrique vérifie des conditions sur les plans conducteurs du guide d'ondes. On notera l'amplitude de la solution obtenue pour et on introduira un nombre entier , non nul et positif, dénombrant «modes» de propagation.
2.4.4. Connaissant , déterminer les expressions, en représentations complexe et réelle, des champs électrique et magnétique .
2.4.5. Exprimer en fonction de et a. Quelle est la fréquence de coupure en dessous de laquelle la propagation de l'onde n'existe pas ? Calculer numériquement pour le mode et .

Les résultats des cinq questions suivantes seront exprimés pour .
2.4.6. On nomme la fréquence de l'onde. Exprimer la vitesse de phase en fonction de et du rapport .
Application numérique : Calculer numériquement pour .
2.4.7. Déterminer le vecteur de Poynting de l'onde résultante et en déduire sa moyenne temporelle .
2.4.8. En déduire le flux énergétique moyen à travers une surface perpendiculaire à l'axe et de largeur suivant la direction . On introduira la vitesse de phase dans le résultat de .
2.4.9. Exprimer la densité volumique d'énergie électromagnétique et sa moyenne temporelle .
2.4.10. Calculer l'énergie électromagnétique localisée en moyenne , dans un volume d'épaisseur et limité par deux surfaces perpendiculaires à . En déduire la vitesse de propagation de l'énergie moyenne en fonction de à travers les surfaces perpendiculaires à . Commenter le résultat.
Représenter sur un même graphe et en fonction du quotient des fréquences . Positionner sur le graphe les points représentatifs de et correspondant à l'application numérique de la question 2.4.6.

Fin de l'énoncé