Miroirs plans (réflexion et interférences) et ondes électromagnétiques entre deux plans conducteurs
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Le sujet comporte une partie A d'optique, à caractère expérimental, sur la réflexion et les interférences avec des miroirs plans, et une partie B d'électromagnétisme, plus théorique, sur les paquets d'ondes puis la propagation entre deux plans conducteurs parallèles jouant le rôle de résonateur ou de guide d'ondes. De nombreuses applications numériques étaient demandées dans les deux parties.
1Partie A.1 : miroirs plans, réflexionStigmatisme du miroir plan, association de deux ou trois miroirs, application aux réflecteurs lunaires.
2Partie A.2 : miroirs plans, interférencesInterférences par le miroir de Lloyd puis par les miroirs de Fresnel, avec des applications numériques.
3Partie B.1 : onde quasi-monochromatiqueSuperposition d'ondes planes progressives monochromatiques, paquet d'ondes, vitesse de groupe et de phase.
4Partie B.2 : onde entre deux plans parfaitement conducteursRelations de passage, montage en résonateur électromagnétique puis en guide d'ondes, vecteur de Poynting et densité d'énergie.
Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet a été plutôt bien réussi grâce au caractère classique du programme, bien que la moyenne de l'épreuve reste basse à 8,26.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Confusion entre ordre d'interférence et différence de marche · Relations de passage traitées comme des égalités scalaires · Raisonnement hâtif sur le conducteur parfait
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Le sujet a été plutôt bien réussi grâce à son caractère classique, et les parties A et B ont été traitées de manière égale par les candidats. Le texte n'a pas posé de problème de compréhension, mais de nombreuses erreurs portent sur les grandeurs algébriques et vectorielles ainsi que sur les applications numériques. La moyenne de l'épreuve est de 8,26 et l'écart type est de 2,82.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Confusion entre ordre d'interférence et différence de marche2.1.3, 2.1.4
Pour repérer la frange centrale du miroir de Lloyd, les candidats confondent souvent l'ordre d'interférence nul et une différence de marche nulle.
« une certaine confusion entre un ordre d'interférence p = 0 et une différence de marche δ = 0 pour repérer la frange centrale »
2
Relations de passage traitées comme des égalités scalaires2.2
Les grandeurs vectorielles perdent leur flèche et se retrouvent parfois égalées à des grandeurs scalaires dans les relations de passage des champs E et B.
« les grandeurs vectorielles n'ont pas leurs flèches, égalité entre vecteurs et scalaires »
3
Raisonnement hâtif sur le conducteur parfait2.1
Pour démontrer que j = 0 dans le conducteur parfait, certains candidats postulent directement que E est nul plutôt que de partir de la puissance dissipée.
« se sont imposés que « E étant nul ! »
4
Valeurs algébriques fausses en montage Michelson1.2.3
Les positions des images sont souvent correctement identifiées, mais les valeurs algébriques associées se révèlent parfois fausses, avec des répercussions sur les questions suivantes.
5
Réflecteurs lunaires : application numérique presque jamais réussie1.3.2.2
Le rendement aller-retour du réflecteur lunaire, qui suppose de ne pas oublier le facteur un demi et de distinguer rayon et diamètre, n'a été correctement obtenu que par une infime minorité de candidats.
« le résultat final correct à la question 1.3.2.2 ne fut atteint qu'à la fréquence d'une copie sur cent »
6
Application du bateau en mer quasi jamais réussie2.1.6.1
L'application sur le miroir de Lloyd appliqué à une réception radio en mer a été un échec pour la quasi-totalité des candidats.
« l'application sur le « bateau en mer », en a « coulé » plus d'un »
Ce qui a été bien réussi
Les questions sur l'association de deux miroirs formant un angle et sur l'onde quasi-monochromatique de base ont été généralement bien traitées.
Les relations de passage entre les champs E et B sont en général connues des candidats.
Les résultats numériques de la fréquence de coupure et de la vitesse de phase du guide d'ondes étaient majoritairement exacts.
Les correcteurs ont noté un effort des candidats sur la présentation des copies.
Conseils du jury
Toujours représenter les grandeurs vectorielles avec leur flèche et ne jamais égaler un vecteur à un scalaire.
Ne pas négliger les applications numériques demandées et vérifier l'homogénéité des formules utilisées.
Bien distinguer l'ordre d'interférence et la différence de marche pour repérer la nature de la frange centrale.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Partie A : OPTIQUE
Le problème d'optique sur les miroirs plans comprend deux parties indépendantes: l'étude de la réflexion, suivie de celle du phénomène d'interférence entre deux ondes. Des applications diverses illustrent ces différentes parties et ne devront pas être négligées.
Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras.
1. Miroirs plans - Réflexion
1.1. Le miroir plan
1.1.1. Un rayon lumineux issu d'un point A se réfléchit en I sur une surface plane {P} et parvient au point B (figure 1).
figure 1
A partir des lois de Descartes, montrer, par un raisonnement de géométrie, que le chemin optique [AIB] est minimal, la position des points A et B étant fixée.
1.1.2. Application: Dans le plan xOy, deux rayons lumineux issus du point A(0, + a) se réfléchissent sur {P} aux points J et K (figure 2).
Écrire les équations des droites représentatives des rayons réfléchis (1) et (2) en fonction des tangentes des angles θ_1 = (AO, AJ) et θ_2 = (AO, AK) puis calculer les coordonnées du point C , intersection des rayons (1) et (2). Quelle est alors l'image du point A ? En déduire une propriété caractéristique du miroir plan.
1.2. Association de deux miroirs
Expériences réalisables en «Travaux Pratiques» où l'objet ponctuel A et la source ponctuelle S sont lumineux.
1.2.1. Les miroirs sont parallèles et distants de d (figure 3 ).
figure 3
Un objet ponctuel A situé entre les miroirs à la distance x de (m_1) donne par réflexions successives sur les miroirs (m_1) et (m_2) une série d'images sur l'axe x^′ x. On note A_1 l'image de A par réflexion sur ( m_1 ), puis A_2 l'image de A par réflexion sur ( m_1 ) puis sur ( m_2 ), etc.
Déterminer, en fonction de x et d, les abscisses AA_1^–, AA_2^–, AA_3^– et AA_4^– d'origine A , des images A_1, A_2, A_3 et A_4 et en déduire celles des images A_N suivant que N est pair ou impair. Quel est le nombre d'images que l'on observe ?
1.2.2. Les miroirs forment un angle α (figure 4).
figure 4
Un objet ponctuel A situé entre (m_1) et (m_2) est repéré par l'angle (OA, (m_1)) = θ. La série d'images ( A_1, A_2, …, A_N, … ) correspond aux rayons réfléchis d'abord sur ( m_1 ), tandis que la série ( A_1^′, A_2^′, ….., A_N^′, … ) correspond aux rayons réfléchis d'abord sur (m_2).
Déterminer les positions angulaires ( OA, OA_N ) et ( OA, OA_N^′ ) des images A_N et A_N^′ pour N pair et impair. Quel est le nombre d'images distinctes observées si α = π/p avec p entier?
1.2.3. Les miroirs sont en position «Michelson» (figure 5).
figure 5
Dans le trièdre Oxyz, les points S, O, M_1 et M_2 appartiennent au plan Oxy. On donne : OS^– = − 15 cm, OM_1^– = OM_2^– = + 5 cm.
Les miroirs (m_1) et (m_2) sont respectivement parallèles aux plans O_(yz) et Oxz. La lame semi-réfléchissante (L), d'épaisseur négligeable, est située dans le plan bissecteur des plans des deux miroirs. Les rayons lumineux transmis par (L) ne sont pas déviés et les rayons réfléchis sur (L) se comportent comme dans le cas du miroir plan.
Les images obtenues S_1 et S_2 de la source ponctuelle S à travers le système optique s'observent dans la direction Oypar un observateur situé dans les y négatifs. On note :
S_1^′ : l'image de S à travers (m_1); S_1 : l'image de S_1^′ à travers (L); S^′ : l'image de S à travers (L); S_2 : l'image de S^′ à travers (m_2).
1.2.3.1. Préciser les axes sur lesquels se trouvent les images S^′, S_1^′, S_1 et S_2 puis déterminer leurs positions en exprimant les valeurs de: OS^′^–, OS_1^′^–, OS_1^– et OS_2^–.
1.2.3.2. Le miroir (m_1) est translaté de 1 cm vers les x positifs. Recalculer les quatre valeurs précédentes.
1.2.3.3. Le miroir (m_1) ramené à sa position initiale, subit une rotation d'un angle γ = − 5^∘ (sens inverse du sens trigonométrique). Représenter schématiquement les positions des images S^′, S_1^′, S_1 et S_2.
1.3. Association de trois miroirs
1.3.1. Association en «coin de cube»
Trois miroirs plans sont associés pour former un trièdre rectangle Oxyz. Un rayon lumineux de vecteur unitaire u = (α, β, γ) se réfléchit successivement sur chacun des trois miroirs. Exprimer en fonction des composantes de u, les vecteurs unitaires u_1, u_2 et u_3 après réflexions respectives sur les miroirs plans Oxz, Oyz et Oxy. Que peut-on en conclure ?
1.3.2. Application: Réflecteurs lunaires.
Depuis l'année 1969, où des réflecteurs à «coin de cube» ont été déposés sur la lune par les sondes soviétiques (Lunakhod) et par les missions américaines (Apollo), la télémétrie Terre-Lune par impulsion laser s'est affinée pour déterminer avec précision la distance Terre-Lune ( d_(TL) ). On envoie une impulsion lumineuse à l'aide d'un laser dirigé vers la Lune, qui tombe sur le réflecteur et qui se trouve réfléchie vers son point de départ sur la Terre. Point de départ et point d'arrivée du signal sont au niveau du foyer d'un télescope placé à la surface de la Terre.
1.3.2.1. Calculer cette distance d_(TL), sachant que le temps écoulé entre l'émission et la réception du signal est de : τ = 2563 ms. Vitesse, supposée exacte, de la lumière dans le vide : c = 300000 km.s^(− 1).
1.3.2.2. On cherche maintenant à estimer le rapport entre l'énergie détectée au retour par rapport à l'énergie envoyée au départ. On détermine un rendement «aller» ρ_A rapport entre l'énergie reçue par le réflecteur et l'énergie émise par le laser, qui sera pris égal au rapport des aires : ρ_A = (a_1)/(A_1) avec a_1 aire du réflecteur lunaire et A_1 aire de la tache lumineuse du faisceau laser sur la Lune. De même le rendement «retour» ρ_R = (a_2)/(A_2) avec a_2 aire du télescope et A_2 aire de la tache lumineuse réfléchie sur la Terre par le réflecteur lunaire. Quel est le rapport entre l'énergie émise par le laser et celle reçue en retour par le télescope ? On suppose qu'il n'y a pas de perte à la réflexion sur les miroirs et on néglige l'effet de l'absorption atmosphérique.
Données : Ouverture du faisceau laser, cône α_1 ≈ 4^(′′) d'arc
Aire du réflecteur lunaire : a_1 = 0, 45 m^2
Ouverture du faisceau réflecteur, cône α_2 ≈ 10 "d'arc
Diamètre du télescope : D_T = 1, 5 m
Distance Terre-Lune : d_(TL)
2. Miroirs plans - Interférences
2.1. Miroir de Lloyd
On considère le dispositif interférentiel du miroir de Lloyd composé d'un miroir plan AB, de largeur l et d'un écran placé en B , orthogonalement au plan du miroir. Une source ponctuelle S , située à une hauteur h au-dessus du plan du miroir et à une distance d de l'extrémité A du miroir, éclaire celui-ci sous incidence rasante ( h≪d + I ), d'une lumière de longueur d'onde λ. Les faisceaux, direct et réfléchi par le miroir, contribuent aux interférences observées en un point M de l'écran (figure 6, page suivante).
figure 6
2.1.1. Ce dispositif est-il à division du front d'onde ou à division d'amplitude ? Quelle est la conséquence sur les intensités I_1 et I_2 des faisceaux issus des sources secondaires S_1 et S_2 ?
2.1.2. Positionner les sources secondaires S_1 et S_2 dans ce dispositif interférentiel et délimiter le champ d'interférences dans le plan de la figure 6. Contrairement au rayon direct, le rayon réfléchi subit, lors de la réflexion, un déphasage de π. Ces sources secondaires sont-elles cohérentes? synchrones? en phase?
2.1.3. Déterminer la différence de marche optique δ et l'ordre d'interférence p au point M(BM = x) en fonction de λ, h, l, d et x.
2.1.4. En déduire l'expression de l'intensité lumineuse I(x) en M. Quelle est la forme des franges obtenues ? Déterminer la position et la nature de la frange centrale.
2.1.5. Exprimer l'interfrange i et en déduire le nombre N de franges que l'on peut observer sur l'écran en fonction de λ, h, l et d.
Application numérique : Calculer i et N_B, nombre de franges brillantes, sachant que : λ = 632, 8 nm, h = 1 mm, l = 30 cm et d = 50 cm.
2.1.6. Application: Un bateau en mer à 10 km de la côte veut capter une émission radio FM de fréquence 100 MHz . Le faisceau parallèle, provenant de l'émetteur situé sur la côte, se réfléchit en partie sur la mer et le dispositif s'identifie à celui du miroir de Lloyd (figure 7).
figure 7
2.1.6.1. Par mer calme, celle-ci se comporte comme un miroir parfait : pour quelle raison l'émission de radio est-elle mal perçue quand l'émetteur est situé à une hauteur de 10 m et la perception bien meilleure quand celui-ci se trouve sur une colline à une hauteur de 700 m ? On justifiera la réponse en calculant l'interfrange i ' au niveau du bateau qui fait office d'écran. Ce calcul nécessite celui de la différence de marche géométrique Δ^′ = 2zsinθ (à démontrer), de la différence de marche optique δ^′, de l'ordre d'interférence p^′(z) et éventuellement celui de l'intensité vibratoire I^′(z). L'interfrange i ' s'exprimera en fonction de la longueur d'onde émettrice λ ' et de l'angle θ indiqué sur la figure 7.
2.1.6.2. Par mer agitée, celle-ci se comporte comme un miroir imparfait : la vibration propagée par le faisceau parallèle est perpendiculaire au plan d'incidence, avec un facteur de réflexion du miroir imparfait R_⊥ = 80%. Exprimer, en fonction de I_1^′ (intensité du faisceau direct) et I_2^′ (intensité du faisceau réfléchi) puis en fonction de R_⊥, le contraste 𝒞 = (I_(max)^′ − I_(min)^′)/(I_(max)^′ + I_(min)^′).
Calculer 𝒞 pour R_⊥ = 80%. La perception des ondes est-elle bien contrastée quand l'antenne réceptrice se déplace le long du mât du bateau?
2.2. Miroirs de Fresnel
On considère le système interférentiel des miroirs de Fresnel (figure 8). Les miroirs (M_1) et (M_2), d'arête commune ( Δ ), font entre eux un angle α = 3 'et sont éclairés par une source ponctuelle S située à la distance d = 60 cm de (Δ), dans le plan de symétrie du système perpendiculaire à ( Δ ). Les miroirs donnent de S deux images S_1 et S_2. Les interférences sont observées dans un plan (E) parallèle à ( Δ ) et perpendiculaire au plan médiateur de S_1 S_2 à la distance D = 1, 40 m de ( Δ ). La position d'un point P sera repérée par sa distance x à l'axe ( y^′ ' y ), intersection du plan médiateur de S_1 S_2 avec (E).
figure 8
2.2.1. La source (laser He − Ne ) émet de la lumière monochromatique de longueur d'onde λ_0 = 632, 8 nm.
2.2.1.1. Exprimer la différence de marche optique δ(x) et l'intensité lumineuse I(P) dans le plan (E) en fonction de I_0, α, d, D, x et λ_0. ( I_(S_1) = I_(S_2) = I_0 : intensité commune des sources secondaires).
2.2.1.2. Déterminer les expressions littérales et les valeurs numériques de l'interfrange i et de la largeur l du champ d'interférences.
2.2.2. La source S (lampe spectrale) émet deux radiations lumineuses de même intensité I_0^′ et de longueurs d'ondes λ_1 = 577, 0 nm et λ_2 = 579, 1 nm (doublet jaune du mercure).
2.2.2.1. Établir l'expression de l'intensité I^′(P) en un point P de (E) et montrer qu'elle s'écrit sous la forme : I^′(x) = 4I_0^′{1 + cos[2π ⋅ δ(x) ⋅ f(λ_1, λ_2)] ⋅ cos[2π ⋅ δ(x) ⋅ g(λ_1, λ_2)]} où l'on définira les fonctions f et g.
2.2.2.2. Montrer que, en théorie, des mesures sur le graphe de l'enregistrement de I^′(x) permettraient de déduire les valeurs des deux longueurs d'ondes. Le dispositif étudié ici permet-il effectivement de calculer λ_1 et λ_2 ? Justifier votre réponse.
Partie B : ELECTROMAGNETISME
Le problème d'électromagnétisme comprend deux parties indépendantes : une première partie «Onde quasi-monochromatique» comme approches mathématique et physique de l'onde monochromatique, suivie d'une seconde partie où deux plans conducteurs parallèles se comportent soit en «résonateur électromagnétique», soit en «guide d'ondes» pour une onde qui se propage à l'intérieur de ces plans.
Représentation des grandeurs scalaires : a, AB et vectorielles : a, AB
En notation complexe ces grandeurs sont soulignées : a_–, AB_–, a_–, AB_–
Notation du produit scalaire ( F ⋅ G ) et vectoriel ( F × G ) des deux vecteurs F et G.
Célérité des ondes dans le vide : c = 3 × 10^8 m.s^(− 1)
Perméabilité du vide : μ_0 = 4π × 10^(− 7)H.m^(− 1)
Permittivité du vide : ε_0 = 1/(36π × 10^9) F ⋅ m^(− 1)
1. Onde quasi-monochromatique
Une onde plane progressive monochromatique : Ψ_–(z, t) = Ψ_0.e^(j(ωt − kz)) (où j^2 = − 1 ) d'amplitude Ψ_0 en tout point, de pulsation ω et de vecteur d'onde k, se propage à la vitesse v = ω/k dans tout l'espace, la variable z prenant toutes les valeurs de l'intervalle ] − ∞, + ∞[. Cette onde est mathématiquement acceptable si elle satisfait à l'équation de propagation des ondes et physiquement acceptable si l'énergie W ≈ ∫_(− ∞)^(+ ∞)|Ψ_–(z, t)|^2 dz transportée par cette onde à chaque instant est finie.
1.1. L'onde Ψ_–(z, t) est-elle solution de l'équation des ondes? Vérifie-t-elle la condition énergétique?
1.2. On construit une nouvelle fonction Ψ_–^′(z, t) = Ψ_–_1(z, t) + Ψ_–_2(z, t) en superposant deux ondes planes progressives monochromatiques de fréquences voisines, de même amplitude et se déplaçant ensemble à la même vitesse :
Ψ_–_1(z, t) = A ⋅ e^(j(ω_1 t − k_1 z)) et Ψ_–_2(z, t) = A ⋅ e^(j(ω_2 t − k_2 z)) avec {ω_1 = ω_0 − Δω; ω_2 = ω_0 + Δω et {k_1 = k_0 − Δk; k_2 = k_0 + Δk
1.2.1. Montrer que Ψ_–^′(z, t) = Ψ_0^′(z, t) ⋅ e^(j(ω_0 t − k_0 z)) en exprimant Ψ_0^′(z, t) sous sa forme réelle. Quelle est l'expression de la vitesse V du maximum de l'amplitude de l'onde résultante Ψ_–^′(z, t) ?
1.2.2. L'onde Ψ_–^′(z, t) est-elle solution de l'équation des ondes? Vérifie-t-elle la condition énergétique et en quoi diffère-t-elle de Ψ_–(z, t) ?
1.3. En superposant un plus grand nombre d'ondes monochromatiques de fréquences voisines et de même amplitude, on parvient à la notion de «paquet d'ondes» ou «d'onde quasimonochromatique » où les vecteurs d'ondes k sont contenus dans un petit domaine Δk de
valeur centrale k_0. L'onde résultante de la superposition de p ondes Ψ_–_p(z, t) = A ⋅ e^(j(ω_p t − k_p z)) sera Ψ_–^(′′)(z, t) = ∑_p Ψ_–_p(z, t) = A∑_p e^(j(ω_p t − k_p z)) avec k_p compris dans l'intervalle [k_0 − (Δk)/2; k_0 + (Δk)/2], ce qui revient à imposer à l'amplitude A(k) une variation représentée sur la figure 1 .
figure 1
En augmentant le nombre des ondes monochromatiques du paquet d'ondes, le vecteur d'onde finit par varier continûment sur le domaine d'extension Δk et l'expression de la fonction d'onde devient :
1.3.1. À l'aide d'un développement limité (à l'ordre 1) de la relation de dispersion ω = ω(k) autour de k = k_0 avec ω_0 = ω(k_0), exprimer ω(k) en fonction de k, k_0, v_φ (vitesse de phase) et v_g (vitesse de groupe), vitesses calculées en k_0.
1.3.2. En déduire que l'onde quasi-monochromatique s'écrit sous la forme :
où l'on exprimera Ψ_0^(′′)(z, t).
1.3.3. Dans Ψ_–^(′′)(z, t), quel est le terme qui suscite le caractère monochromatique de l'onde? Quelle relation doit-il exister entre la constante A et le domaine Δk pour obtenir une condition énergétique physiquement acceptable de Ψ_–^(′′)(z, t) ? Que peuton conclure quant à la vitesse v_e de propagation de l'énergie?
Donnée : ∫_(− ∞)^(+ ∞)((sinu)/u)^2 du = π.
1.3.4. Pour une onde quelconque, montrer que v_g peut s'exprimer en fonction de v_φ, ω et (dv_φ)/(dω).
Application : Dans le cas d'ondes électromagnétiques se propageant dans un guide d'ondes, la vitesse de phase est donnée par la loi de dispersion : v_φ = (cω)/(√(ω^2 − c^2 a^2)). Calculer vg. Commentaire.
2. Onde entre deux plans parfaitement conducteurs.
Dans l'espace rapporté au repère orthonormé direct Oxyz, on définit la base ( e_x, e_y, e_z ).
On dispose de deux plans métalliques parallèles au plan yOz et d'équations x = 0 et x = a. Dans l'espace vide entre ces plans conducteurs, on étudie la propagation d'une onde électromagnétique sinusoïdale de pulsation ω et polarisée rectilignement suivant Oy. Suivant le sens de propagation de l'onde, les deux plans métalliques joueront le rôle de «résonateur électromagnétique » (figure 2) ou de «guide d'ondes» (figure 3).
2.1. Montrer que dans un conducteur parfait, en l'absence de champ statique, nous avons : E = 0, B = 0, j = 0, ρ = 0 (champ électrique, champ magnétique, densité volumique de courant et densité volumique de charges).
2.2. Compléter les quatre relations de passage ci-après concernant les champs E et B au niveau de la surface d'équation x = 0 entre le conducteur parfait (milieu 1) et le vide (milieu 2). Les composantes de E et B seront indicées T (tangentielles) et N (normales) et nous poserons σ_s et j_s respectivement la densité surfacique de charges et le vecteur surfacique de courant.
Relations :
(1) E_(T_2) − E_(T_1) =;
(2) E_(N_2) − E_(N_1) =;
(3) B_(T_2) − B_(T_1) =;
(4) B_(N_2) − B_(N_1) =
2.3. Montage en «résonateur électromagnétique» (figure 2)
L'onde électromagnétique incidente ( E_–_i, B_–_i ), polarisée rectilignement et parallèlement à Oy, se propage vers le métal dans le sens du vecteur d'onde k = − k ⋅ e_x. En notation complexe, le champ électrique incident est donné par : E_–_i = E_0 e^(j(ωt + kx))e_y.
2.3.1. Déterminer, à l'aide de l'équation de structure d'une onde plane, le champ magnétique incident B_–_i.
2.3.2. En utilisant les relations de passage des composantes du champ électrique, déterminer le champ E_–_r(0, t) de l'onde réfléchie sur le plan conducteur d'équation x = 0, et en déduire les champs électrique E_–_r et magnétique B_–_r de l'onde réfléchie en tout point de l'espace.
2.3.3. Exprimer le champ électrique total E_–(x, t) et le champ magnétique total B_–(x, t) à l'instant t en un point M(x, y, z) de la cavité. En déduire le rapport des modules des champs complexes E/B en fonction de c, k et x.
2.3.4. Montrer que la fréquence de l'onde dans cette cavité ne peut prendre que des valeurs discrètes f_N exprimées à l'aide de l'entier N.
Application numérique : Calculer la fréquence propre minimale de ce résonateur pour une distance a = 3 cm entre les plans métalliques.
Les résultats des quatre questions suivantes seront exprimés en fonction de ε_0, c, E_0, a et pour N = 1.
2.3.5. Déterminer le vecteur de Poynting R(x, t) de l'onde résultante et en déduire sa moyenne temporelle < R(x, t) > _t. Commenter le résultat.
2.3.6. Calculer la densité volumique d'énergie électromagnétique u(x, t) puis sa moyenne temporelle ⟨u(x, t)⟩_t en fonction de ε_0 et E_0.
2.3.7. Déterminer le vecteur densité surfacique de courant j_s(t) qui parcourt à l'instant t la plaque métallique, à l'interface métal-vide, en x = 0.
2.3.8. En déduire, en fonction de ε_0 et E_0, la pression électromagnétique moyenne temporelle ⟨p⟩_t = ⟨(df)/(dS)⟩_t exercée par l'onde sur cette plaque, sachant que df = j_s(t)dS × (B(0, t))/2 est la force de Laplace exercée sur l'élément de surface dS du plan métallique d'équation x = 0.
Application numérique : On donne la valeur E_0 = 100 V.m^(− 1); calculer ⟨u(x, t)⟩_t et ⟨p⟩_t.
2.4. Montage en «guide d'ondes» (figure 3, page 9)
On considère une onde électromagnétique ( E_–_1, B_–_1 ), progressive, monochromatique, se propageant dans le vide entre deux plans conducteurs distants de a, suivant la direction de Oz et telle que le champ électrique reste parallèle aux deux plans. On impose que la forme de E_–_1 est : E_–_1(x, z, t) = E_1(x)e^(j(ωt − k_g z))e_y.
2.4.1. Exprimer l'équation de Maxwell-Faraday et en déduire que B_–_1 est de la forme : B_–_1(x, z, t) = [F(x)e_x + jG(x)e_z]e^(j(ωt − k_g z)), sachant que l'on exclut de B_–_1 toute composante statique. Expliciter les fonctions F(x) et G(x). Justifier l'attribution du sigle «T.E» à cette onde.
2.4.2. Exprimer l'équation de Maxwell-Ampère et en déduire l'équation différentielle vérifiée par l'amplitude E_1(x) du champ électrique. Les champs E_–_1 et B_–_1 vérifient-ils les deux autres équations de Maxwell ? Justifier votre réponse.
2.4.3. Résoudre l'équation différentielle vérifiée par E_1(x) et donner la solution dans le cas où k_g < ω/c, sachant que le champ électrique E_1 vérifie des conditions sur les plans conducteurs du guide d'ondes. On notera α l'amplitude de la solution obtenue pour E_1(x) et on introduira un nombre entier N_1, non nul et positif, dénombrant N_1 «modes» de propagation.
2.4.4. Connaissant E_1(x), déterminer les expressions, en représentations complexe et réelle, des champs électrique E_–_1 et magnétique B_–_1.
2.4.5. Exprimer k_g en fonction de ω, c, N_1 et a. Quelle est la fréquence de coupure f_c en dessous de laquelle la propagation de l'onde n'existe pas ? Calculer numériquement f_c pour le mode N_1 = 1 et a = 3 cm.
Les résultats des cinq questions suivantes seront exprimés pour N_1 = 1.
2.4.6. On nomme f la fréquence de l'onde. Exprimer la vitesse de phase v_φ en fonction de c et du rapport (f_c)/f.
Application numérique : Calculer numériquement v_φ pour f = 3f_c.
2.4.7. Déterminer le vecteur de Poynting R_1(x, z, t) de l'onde résultante et en déduire sa moyenne temporelle ⟨R_1(x, z, t)⟩_t.
2.4.8. En déduire le flux énergétique moyen Φ_m à travers une surface S perpendiculaire à l'axe Oz et de largeur b suivant la direction Oy. On introduira la vitesse de phase v_φ dans le résultat de Φ_m.
2.4.9. Exprimer la densité volumique d'énergie électromagnétique u_1(x, z, t) et sa moyenne temporelle ⟨u_1(x, z, t)⟩_t.
2.4.10. Calculer l'énergie électromagnétique localisée en moyenne dW_m, dans un volume d'épaisseur dz et limité par deux surfaces S perpendiculaires à Oz. En déduire la vitesse de propagation de l'énergie moyenne v_e en fonction de v_φ à travers les surfaces S perpendiculaires à Oz. Commenter le résultat.
Représenter sur un même graphe v_e et v_φ en fonction du quotient des fréquences f/(f_c). Positionner sur le graphe les points représentatifs de v_e et v_φ correspondant à l'application numérique de la question 2.4.6.
Fin de l'énoncé
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte CCINP physique 2 MP 2010 ?
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Sur quels chapitres porte CCINP physique 2 MP 2010 ?
+
La partie optique traite la réflexion et les interférences sur des miroirs plans (Lloyd, Fresnel), la partie électromagnétisme traite les paquets d'ondes puis la propagation entre deux plans conducteurs en résonateur ou en guide d'ondes.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur CCINP physique 2 MP 2010 ?
+
Une confusion entre ordre d'interférence et différence de marche pour la frange centrale, des relations de passage traitées comme des égalités scalaires, et des applications numériques presque jamais menées à bien sur les réflecteurs lunaires et le bateau en mer.
Quelle était la moyenne à CCINP physique 2 MP 2010 ?
+
La moyenne de l'épreuve était de 8,26 sur 20, avec un écart type de 2,82.
Le sujet CCINP physique 2 MP 2010 est-il difficile ?
+
Le jury le juge plutôt bien réussi grâce au caractère classique du programme, malgré une moyenne assez basse et de nombreuses erreurs sur les applications numériques.
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