CCINP Physique 2 MP 2014

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet comporte cinq parties indépendantes.
Les parties I et II portent sur l'optique (de la page 2 à la page 9).
Les parties III à V portent sur l'électromagnétisme (de la page 10 à la page 14).

Les calculatrices ne sont pas autorisées : les applications numériques sont pourtant importantes pour conclure et devront être réalisées à la main. On ne demande pas une valeur exacte, mais une bonne valeur approchée.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct . Des interférences lumineuses sont obtenues à l'aide d'un dispositif interférentiel permettant de créer deux sources ponctuelles cohérentes et à partir d'une même source ponctuelle monochromatique de longueur d'onde dans l'air . Les deux sources et , distantes de , émettent des ondes lumineuses sphériques en phase et de même intensité (ou éclairement) . Le milieu du segment est situé sur l'axe . L'écran d'observation est placé dans le plan à la distance de . Le dispositif interférentiel est placé dans l'air d'indice 1. Il permet d'orienter l'axe des sources, soit parallèlement à l'écran selon l'axe (figure 1), soit perpendiculairement à l'écran selon l'axe (figure 2).

I.1.1. Exprimer l'intensité lumineuse (ou l'éclairement) en un point de l'écran en fonction de l'intensité de chacune des sources et du déphasage au point entre les deux ondes issues de et .
I.1.2. Relier à la différence de marche géométrique au point entre les deux ondes lumineuses provenant des sources et et atteignant .
I.1.3. On se place dans le cas où l'axe des deux sources est parallèle au plan de l'écran (figure 1, page 2). Pour observer des interférences, le dispositif interférentiel est éclairé avec une source monochromatique de longueur d'onde et réglé de façon à obtenir une figure d'interférence dont les dimensions sont de l'ordre du centimètre, avec et .
I.1.3.a. En fonction des réglages imposés au dispositif interférentiel, exprimer la différence de marche en fonction de et de la position du point .
I.1.3.b. Exprimer l'intensité sur l'écran d'observation en fonction de la position du point .
I.1.3.c. Calculer l'ordre d'interférence au point . Commenter.
I.1.3.d. Décrire l'allure de la figure d'interférence observée sur l'écran. Déterminer en fonction de et la distance entre deux franges brillantes (interfrange).
I.1.3.e. Application numérique : calculer la position du premier maximum d'intensité lumineuse situé en dehors du centre de l'écran.
I.1.4. On se place maintenant dans le cas où l'axe des deux sources est perpendiculaire au plan de l'écran (figure 2, page 2). Le dispositif interférentiel est toujours éclairé avec la même source et il est réglé de façon à obtenir une figure d'interférence dont les dimensions sont de l'ordre du centimètre avec et .
I.1.4.a. En fonction des réglages imposés au dispositif interférentiel, montrer que la différence de marche au point s'exprime en fonction de et de l'angle , formé entre le segment et l'axe par la relation : .
Il sera judicieux d'utiliser l'égalité .
I.1.4.b. D'après les dimensions de la figure d'interférence, l'angle est voisin de 0 et on peut utiliser les développements limités de sinus, cosinus et tangente à l'ordre 2. Exprimer la différence de marche au point en fonction de et de la position du point .
I.1.4.c. Donner l'expression de l'intensité sur l'écran d'observation en fonction de la distance .
I.1.4.d. Application numérique : calculer l'ordre d'interférence au point . Commenter.
I.1.4.e. Représenter, en la justifiant, l'allure de la figure d'interférence observée sur l'écran.
I.1.4.f. Evaluer approximativement la position du premier maximum d'intensité lumineuse situé en dehors du centre de l'écran.
I.1.5 Comment faut-il modifier le système pour observer les figures d'interférences localisées à l'infini?

Le dispositif interférentiel est représenté figure 3. Son principe de fonctionnement est similaire à celui de l'interféromètre de Michelson. Il est composé d'un séparateur de faisceau constitué de deux prismes droits de section rectangle isocèle identiques accolés par leurs bases et de deux miroirs plans et , de centre respectif et . Il est éclairé par une source ponctuelle , obtenue grâce à un faisceau de lumière parallèle monochromatique de longueur d'onde provenant d'un laser ; le faisceau laser est expansé grâce à une lentille de focale image placée entre le faisceau laser et la face d'entrée du séparateur. Le séparateur de faisceau se comporte comme une lame séparatrice , unique, d'épaisseur nulle (face commune aux deux prismes) qui transmet de l'intensité lumineuse, l'autre partie étant réfléchie.
On note la distance entre la source ponctuelle et le centre de la séparatrice et la distance entre la séparatrice et l'écran ( ).
Les deux miroirs sont mobiles et peuvent pivoter autour de leurs axes et . On note et les angles de rotation de chacun des miroirs, pris respectivement entre ( et ) et ( et .

I.2.1. On se place dans le cas où les deux miroirs et sont orthogonaux ( est dans le plan et dans le plan ). Les positions des miroirs sont données par les distances et avec .
I.2.1.a. En vous aidant d'un schéma clair, déterminer les coordonnées dans le repère des sources secondaires et créées par l'interféromètre en fonction de et est l'image de la source issue des réflexions sur et est l'image de issue des réflexions sur et .
I.2.1.b. En déduire la distance qui sépare les sources et et la distance de leur milieu à l'écran en fonction de et .
I.2.1.c. Le miroir réglé à restant fixe, le miroir est translaté de façon à obtenir un éclairement uniforme de l'écran. Donner dans ces conditions la valeur de .
I.2.2. A partir de la position précédente, le miroir est déplacé parallèlement à l'axe d'une distance , telle que avec et .
I.2.2.a. Décrire la figure d'interférence observée sur l'écran.
I.2.2.b. Le centre de la figure d'interférence est brillant. La première frange brillante, hors de l'axe, est située à 20 mm du centre de la figure. Calculer, à partir des résultats obtenus dans la partie I.1, la distance .
I.2.2.c. Calculer l'ordre d'interférence au centre de la figure d'interférence.
I.2.3. A partir de la position des miroirs obtenus question I.2.1.c, on fait subir à chaque miroir une très faible rotation, dans le même sens et du même angle .
I.2.3.a. Montrer, en vous aidant d'un schéma, que les sources secondaires et créées par l'interféromètre sont situées sur un axe parallèle à , le milieu de étant sur l'axe .
I.2.3.b. Déterminer la distance entre les deux sources et la distance du milieu des sources à l'écran en fonction de et ou .
I.2.3.c. Décrire la figure d'interférence observée sur l'écran.
I.2.3.d. La distance entre deux franges brillantes consécutives est égale à . Calculer, à partir des résultats obtenus dans la partie I.1, l'angle en radians.
I.2.3.e. Comment varie la distance entre les franges si on augmente l'angle ?

L'interféromètre de la question précédente est initialement réglé en plaçant les deux miroirs orthogonalement et à la même distance de la séparatrice ( ). Le miroir est un miroir de référence parfaitement plan. Le miroir est alors remplacé par un miroir sphérique convexe , dont le sommet est positionné en et de centre (figure 4). L'axe est l'axe optique du miroir et son rayon.

I.3.1. Déterminer la position de , image de par en l'absence du séparateur de faisceau en fonction de et .
I.3.2. Déterminer les coordonnées dans le repère ( ) des sources secondaires et créées par l'interféromètre en fonction de et .
I.3.3. Montrer que, dans le cas où , la distance entre les deux sources se met sous la forme et que la distance du milieu des sources à l'écran est voisine de .
I.3.4. En déduire l'aspect de la figure d'interférence observée sur l'écran.
I.3.5. Le centre de la figure d'interférence est un point brillant. La cinquième frange brillante est située à du centre. Calculer la valeur du rayon du miroir .

SPOT et les Pléiades sont des satellites optiques d'observation de la Terre. Les satellites d'observation de la Terre fournissent des images numériques de la surface de la Terre composées de pixels. L'image numérique est une matrice de lignes et colonnes de petits éléments d'images appelés pixels. Chaque pixel représente l'image formée sur un des capteurs carrés de côté , d'une petite surface terrestre dont les longueurs des côtés sont et . La résolution est la taille ou au niveau du sol correspondant à un pixel de l'image de la surface terrestre. L'acquisition des images se fait par lignes successives de largeur au sol grâce à des capteurs juxtaposés linéairement sur une barrette. Le déplacement du satellite assure le passage d'une ligne à l'autre. L'orbite du satellite est circulaire et polaire et son altitude demeure constante lors des prises de vues. La vitesse linéaire du satellite sur son orbite est et la vitesse par rapport au sol du projeté du satellite sur la surface terrestre est sensiblement parallèle à un méridien terrestre (figure 5).

II.1. Le satellite Pléiades - 1 A est situé à d'altitude. Le système optique du satellite peut être assimilé à une lentille mince de distance focale image et de centre optique . L'axe optique, appelé axe de visée, est vertical selon . Le rayon de la Terre est .
II.1.1. Le système optique est-il convergent ou divergent? Justifier votre réponse.
II.1.2. Exprimer le grandissement transversal du système optique en fonction de et , puis en fonction de et .
II.1.3. Les images en noir et blanc (mode panchromatique) ont une résolution à la verticale de au sol . Elles comportent 30000 lignes et 30000 colonnes. La taille de chaque capteur est .
II.1.3.a. Calculer la distance focale du système optique. Est-il concevable de réaliser l'instrument d'optique avec une seule lentille? Justifier.
II.1.3.b. Calculer la largeur d'une ligne de prise de vue au sol.
II.1.4. Les images en 4 couleurs (mode multispectral) comportent 7500 lignes et 7500 colonnes. Une série de quatre capteurs forme un pixel. Les capteurs sont regroupés par 30000 sur une barrette et un filtre interférentiel sélectionne la longueur d'onde. Chacun des quatre capteurs de chaque couleur a la même géométrie qu'en mode panchromatique. Quelle est la résolution au sol des images en mode multispectral du satellite Pléiades - 1A ?
II.1.5. Donner l'ordre de grandeur de l'angle de champ de prise de vue d'une ligne. Le système optique du satellite Pléiades-1A fonctionne-t-il dans les conditions de Gauss ? Justifier.
II.1.6. La période de révolution du satellite Pléiades - 1 A est .
II.1.6.a. Calculer la vitesse au sol .
II.1.6.b. Calculer, en mode panchromatique, la durée d'acquisition d'une ligne sachant qu'en visée verticale .
II.1.6.c. La durée d'acquisition est-elle la même en mode multispectral ? La calculer sachant qu'en visée verticale .
II.2. Les systèmes optiques des satellites d'observation de la Terre sont composés de télescopes. Le télescope du satellite SPOT est dérivé du télescope de Schmidt. Il est composé d'un miroir plan , d'un miroir sphérique concave (centre et sommet ), d'un système afocal de correction d'ouverture composé de deux lentilles minces ( et ) auquel s'ajoute un miroir orientable de changement de visée placé à l'entrée du système optique (figure 6, page 9).

II.2.1. La distance focale du miroir est . Déterminer son rayon .
II.2.2. Le satellite est placé à l'altitude en orbite circulaire autour de la Terre. Si on considère que les rayons qui tombent sur le système optique sont quasiment parallèles à l'axe de visée, calculer la position du détecteur formé de plusieurs barrettes de capteurs ?
II.2.3. En visée verticale, la largeur au sol des images de SPOT, qui comportent 6000 lignes et 6000 colonnes de pixels en mode panchromatique, est . Estimer la taille d'un capteur du satellite SPOT.
II.2.4. La prise de vue peut concerner une zone de faible altitude proche de la mer ou une région himalayenne où l'altitude peut atteindre 8000 m . Estimer la variation de la position du détecteur en fonction de la variation d'altitude du satellite. L'instrument d'optique de SPOT doit-il disposer d'un dispositif de mise au point?
II.2.5. Le système afocal est formé par une lentille convergente de centre , de foyers objet et image et d'une lentille divergente de centre , de foyers objet et image . La distance qui sépare les deux centres optiques des lentilles est .
II.2.5.a. Quelle relation existe-t-il entre les distances focales images et des deux lentilles (respectivement et ) et la distance ?
II.2.5.b. Situer sur un schéma la position des foyers des lentilles.
II.2.5.c. Tracer sur le même schéma la marche d'un rayon passant par et incliné par rapport à l'axe optique des deux lentilles.
II.2.6. L'instrument du satellite SPOT possède un miroir de visée oblique. Quel est l'intérêt d'un tel dispositif?

Les trois parties de ce problème sont indépendantes. Toutefois, la compréhension et la réalisation de la première partie permettent d'aborder plus rapidement les deux dernières parties.

On s'intéresse à l'un des deux standards de télécommunication, candidat pour la génération de la téléphonie mobile, «Long Term Evolution - Advanced». Il est constitué, en France, de deux bandes de fréquences dites 800 MHz et 2600 MHz . Par le déploiement de technologies particulières, des débits supérieurs à 30 Mbits / seconde pour des mobiles en mouvement sont visés.

L'espace est défini par un repère orthonormé direct et on considère un point de l'espace repéré par ses coordonnées cartésiennes ( ). On pose .

III.1.1. Donner, en les nommant, les équations de Maxwell sous leurs formes locales dans l'air en l'absence de sources. On traitera des champs et comme n'étant pas nécessairement ceux d'une Onde Plane Progressive Sinusoïdale (OPPS).
III.1.2. Etablir l'équation de propagation en champ électrique et en déduire l'expression de la vitesse de propagation de l'onde, en fonction des données de l'énoncé.
III.1.3. On considère à présent que le champ est celui d'une OPPS polarisée rectilignement parallèlement à , se propageant suivant les croissants et dont la formulation générale est donnée par l'expression complexe . est le vecteur d'onde de norme constante est la pulsation et est une constante complexe vectorielle.
III.1.3.a. Préciser et justifier l'expression de et la direction de .
III.1.3.b. Donner l'expression de en fonction des coordonnées de et en projection dans la base cartésienne associée à .
III.1.3.c. Expliciter les deux termes de l'équation de propagation en fonction de et .
III.1.3.d. En déduire la relation de dispersion du milieu.
III.1.4. Dans l'hypothèse de la question précédente, expliciter le champ dans la base cartésienne en fonction de et .
III.1.5. En notant étant une constante, expliciter les champs réels et .

III.2.1. Donner la définition du vecteur de Poynting en fonction des champs et son interprétation physique. Quelle est sa dimension physique?
III.2.2. Montrer que la valeur moyenne temporelle de la norme de peut s'écrire pour les champs de l'OPPS définie dans la partie III.1. On donnera la valeur de la constante .
III.2.3. Dans le cas d'une antenne réelle, l'hypothèse de l'OPPS n'est valable que localement. On sait alors que la valeur de dépend de la distance à l'antenne, de la puissance d'alimentation et de son gain , lequel dépend de la direction d'observation. On peut ainsi écrire : . Exprimer l'amplitude du champ en fonction de et .

Il est parfois nécessaire de privilégier un sens de fonctionnement de l'antenne. L'énergie rayonnée par une antenne est alors répartie de manière inégale dans l'espace et il existe des directions privilégiées, appelées "lobes de rayonnement". Ces différentes directions peuvent être visualisées à l'aide du diagramme de rayonnement réalisé en trois dimensions. Le lobe le plus important est appelé "lobe principal". Il est dirigé vers l'avant de l'antenne. Les lobes secondaires, moins importants, sont dirigés vers l'arrière ou sur les côtés de l'antenne.

La norme sanitaire pour ce type de rayonnement est actuellement en France . Elle correspond à un seuil défini sur la base des effets thermiques (échauffement) liés au champ électromagnétique. A titre de comparaison, la norme en Italie, Russie, Pologne et Chine est de .
III.3.1. Dans le cadre d'une implantation urbaine, il se peut que certains locaux interceptent le lobe principal. En considérant dans ce cas une puissance , un gain et une distance , calculer l'intensité du champ . Commenter le résultat.
III.3.2. Une autre possibilité d'être exposé au rayonnement d'une antenne relais concerne le lobe secondaire orienté vers le sol. Dans ce cas le gain est plus faible, mais la distance également. Calculer, pour la même puissance , le champ dans le cas où et . Commenter le résultat.

De façon préliminaire, on considère une interface air - métal parfait dans le plan . L'air occupe l'espace des et le métal celui des . L'onde incidente est une OPPS se propageant dans l'air, polarisée selon et qui arrive normalement à l'interface. On note et , respectivement, les amplitudes complexes des champs incident et réfléchi. On note et , les vecteurs d'ondes associés respectifs. On admet que l'onde réfléchie a la même polarisation que l'onde incidente.

IV.1.1. Exprimer les champs électrique et magnétique incidents en fonction de et .
IV.1.2. Exprimer les champs électrique et magnétique réfléchis en fonction de et .
IV.1.3. Rappeler les propriétés d'un conducteur à l'équilibre. Quelles sont les expressions des champs et dans le conducteur?
IV.1.4. Enoncer, sous sa forme la plus générale, la relation de passage pour les composantes tangentielles du champ électrique.
IV.1.5. En déduire la valeur du coefficient de réflexion en champ .

IV.2.1. Déterminer l'expression du champ total réel .
IV.2.2. Quelle est sa particularité ? Justifier.
IV.2.3. Représenter l'amplitude de en fonction de la position de pour trois valeurs différentes de .
IV.2.4. Localiser et nommer les points remarquables de la représentation.
IV.2.5. Donner la distance entre un minimum et un maximum adjacents en fonction de la longueur d'onde de l'onde.

On remplace à présent le métal parfait par du béton. On reprend l'ensemble du problème et des notations considérées dans les parties IV. 1 et IV.2. On donne le nouveau coefficient de réflexion en champ dans la gamme de fréquence de la bande 2600 MHz avec et .
IV.3. Mettre le champ total dans l'air sous la forme et exprimer en fonction de et .
IV.4. En constatant que , exprimer les valeurs maximale et minimale de l'amplitude de en fonction de et .
IV.5. Pour le coefficient de réflexion donné ci-dessus pour le béton, calculer le rapport , également appelé Rapport d'Onde Stationnaire ou ROS.
IV.6. Donner la distance entre un minimum et un maximum adjacents.
IV.7. Pour un véhicule se déplaçant à , calculer le temps qui s'écoule entre un maximum et un minimum de champ. En quoi cela peut-il affecter la communication ?

L'une des clés pour l'élévation du débit de la 4 G réside dans la capacité des antennes à différencier les signaux en fonction de leur direction d'arrivée (ou d'envoi). Pour illustrer cette fonction, considérons le cas de deux OPPS de même amplitude , mais de phases à l'origine différentes. En associant cette origine à la première onde, on a . Elles utilisent le même canal et donc la même pulsation . Elles ont la même polarisation rectiligne . Les directions d'arrivée en un point quelconque de l'espace sont et .

V.1.1. En vous appuyant sur un schéma clair, représenter dans le repère cartésien les vecteurs et , ainsi que les champs associés et en respectant la vraisemblance liée à la structure des OPPS.
V.1.2. Exprimer les composantes et respectivement des champs et selon la direction en fonction de et .

V.2.1. On dispose deux antennes de réception en mesure de détecter le champ électrique aux points et . Exprimer les composantes et des champs en fonction de et , puis exprimer les champs totaux et en fonction de ces mêmes paramètres.
V.2.2. On introduit le paramètre réel et variable . Grâce à un calculateur numérique, on peut estimer la quantité pour diverses valeurs de . Montrer que les contributions issues des champs et font apparaître respectivement les facteurs et .
V.2.3. Proposer deux valeurs particulières et respectivement telles qu'après calcul de :