CCINP Physique 2 PC 2003

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On se propose d'étudier le fonctionnement d'un wattmètre constitué de deux amplificateurs logarithmiques, d'un amplificateur exponentiel et d'un additionneur.

Dans tout le problème, les amplificateurs qui vont être étudiés utilisent une diode, schématisée sur la figure 1 , dont la caractéristique courant-tension a pour équation :

où est l'intensité de courant traversant la diode, la tension aux bornes, et et sont des constantes positives.

Pour les applications numériques, on prendra : et .

Tracer qualitativement l'allure de la courbe .

On réalise le montage de la figure 2 :

L'amplificateur opérationnel (A.O.) est supposé idéal et on note sa tension de saturation égale à ; les sources de polarisation ne figurent pas sur les schémas.
2.1. L'amplificateur opérationnel étant supposé en régime linéaire, déterminer en fonction de et .
2.2. On suppose que et que et on remarquera que . Pour , et compte-tenu des signes de et de , justifier s'il y aura ou non saturation de l'amplificateur.
Répondre à la même question pour .
2.3. Tracer l'allure des courbes et , en fonction du temps, sur une période complète, pour .

On réalise le montage de la figure 3 :

3.1. L'amplificateur opérationnel étant supposé en régime linéaire, déterminer en fonction de et .
3.2. On suppose que ; pour , donner la condition que doit satisfaire pour que l'amplificateur soit effectivement en régime linéaire; calculer la valeur numérique de la limite trouvée pour à partir des valeurs suivantes : et .
3.3. Obtenir la condition entre et nécessaire pour que l'amplificateur opérationnel soit en régime linéaire lorsque , quelle que soit la valeur de .

On réalise maintenant le montage de la figure 4, dans lequel les amplificateurs opérationnels sont en régime linéaire :

4.1. Exprimer en fonction de et , puis en fonction de et et des éléments du montage.
4.2. En déduire la caractéristique de transfert de ce montage, en fonction de et .
4.3. On considère que les tensions d'entrée sont de la forme :

Déterminer l'expression de la valeur moyenne dans le temps de la tension de sortie, notée .
4.4. Proposer un moyen pour mesurer .
4.5. On considère un dipôle constitué de résistances, bobines et condensateurs, d'impédance complexe équivalente et alimenté par une tension (fig.5).

Exprimer la valeur moyenne de la puissance instantanée reçue par le dipôle en fonction de et , dite aussi «puissance active».

On veut mesurer cette puissance avec le montage de la figure 4, noté ; on réalise dans ce but le montage de la figure 6, alimenté par la tension :

On considère que les intensités dans les deux entrées du wattmètre sont nulles.
4.6. Quel est le rôle de la résistance dans le montage ? Comment doit-on choisir la valeur de celle-ci ?
4.7. Montrer que la puissance moyenne totale mesurée par le wattmètre est de la forme :

Expliciter la constante et exprimer en fonction de et .
4.8. Déterminer l'expression de l'erreur systématique relative et montrer qu'elle est majorée par .
4.9. On veut éliminer l'erreur introduite par la résistance ; on considère alors le montage de la figure 7 :

Calculer la résistance d'entrée de ce montage.
4.10. Proposer un montage utilisant le circuit de la figure 7 qui permette de mesurer la puissance reçue par le dipôle, sans l'erreur systématique introduite par la présence de .

Le problème de la conception d'un écran électromagnétique est un problème de champ en régime quasi-stationnaire. La pénétration du champ électromagnétique dans le domaine qui doit être écranté dépend de la fréquence , de la conductivité électrique de l'écran, aussi bien que de la géométrie de celui-ci.

On considère le domaine à écranter situé entre deux plaques métalliques parallèles d'extension infinie, d'épaisseur et distantes de (fig. 1). Les deux plaques sont planes, homogènes et isotropes, de conductivité électrique et de constantes et égales à celles du vide.

On rappelle leurs valeurs numériques : et

Dans le domaine extérieur, , règne un champ magnétique uniforme et variable dans le temps :

Par ailleurs, on appelle :
le champ magnétique entre les deux plaques
le champ électrique entre les deux plaques
le champ magnétique dans les plaques
le champ électrique dans les plaques.

Tous ces champs sont des fonctions harmoniques du temps (régime sinusoïdal), de pulsation .

1.1. L'une des équations de Maxwell s'écrit :

De quelle équation de Maxwell s'agit-il ? Pourquoi est-elle nommée ainsi ? Comment appelle-t-on ? Quelle est son unité ?
1.2.Donner l'expression de la loi d'Ohm locale. Est-elle valable quelle que soit la fréquence? Justifier qualitativement la réponse.
On admettra la validité de cette loi dans toute la suite.
1.3. On pose . Exprimer le rapport des amplitudes en fonction de et de la fréquence , en un point quelconque de la plaque.
Tracer l'allure de la courbe représentative en fonction de .
Application numérique : dans le cas de l'aluminium, ; donner la condition vérifiée par la fréquence pour avoir .
Dans toute la suite du problème, on négligera devant à l'intérieur des plaques métalliques; il s'agit de l'approximation de l'effet de peau.

2.1. Une autre équation de Maxwell s'écrit röt .

Comment la nomme-t-on ? Pourquoi ?
2.2. Ecrire les deux autres équations de Maxwell.
2.3. On rappelle que :

Donner l'équation aux dérivées partielles satisfaite par le champ .
2.4. En régime sinusoïdal, à , on associe l'image complexe suivante :
On note avec
Expliciter en fonction de .
2.5. Ecrire l'équation différentielle satisfaite par avec comme paramètre.
2.6. Résoudre cette équation pour , en donnant l'expression de en fonction de deux constantes et , que l'on ne cherchera pas à déterminer dans cette question.
2.7. En exploitant la symétrie du système, justifier qu'il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation différentielle de dans le domaine .
2.8. A partir de l'une des équations de Maxwell judicieusement choisie, exprimer l'image complexe du champ électrique pour avec et comme paramètres.

3.1. Ecrire sans approximation les équations de Maxwell dans le vide entre les deux plaques.
3.2. En déduire l'équation différentielle satisfaite par .
3.3. Montrer que l'expression suivante est solution de cette équation :
où et sont des constantes, que l'on ne cherchera pas à déterminer ici.
Donner l'expression de en fonction de et .
3.4. Dans quelle condition, l'approximation de régime quasi-stationnaire est-elle justifiée dans le vide, entre les deux plaques ?

Calculer pour et conclure.
Que peut-on dire alors de dans le domaine intérieur avec ?
3.5. Déterminer l'image complexe du champ électrique en fonction de et d'une autre constante comme paramètre.
On prendra .
3.6. Comparer la symétrie de à celle de par rapport au plan . En déduire la valeur de , puis la valeur de .

4.1. Il n'y a ni charge surfacique ni courant surfacique en et en . Justifier pourquoi.
4.2. Donner les relations de passage du champ magnétique et du champ électrique en .
4.3. En déduire et en fonction de . On rappelle que
4.4. Donner la relation de passage du champ magnétique en . En déduire , donc , en fonction de et .
4.5. La valeur efficace du champ est donnée par le module de l'image complexe . Exprimer en fonction de et , dans l'hypothèse double et .
4.6. Les plaques utilisées sont en aluminium :

et les autres grandeurs ont les valeurs suivantes : et .
Calculer la valeur du paramètre , ainsi que la profondeur de pénétration ( sera donnée en mm).
4.7. On définit le facteur d'atténuation comme étant le rapport des valeurs efficaces :

Exprimer en fonction de et .
Calculer l'épaisseur d'un écran pour avoir .
L'hypothèse faite à la question 4.5. est-elle justifiée?
4.8. Nature du métal : les applications ont concerné des plaques en aluminium. Ces applications auraient-elles pu être effectuées sur des plaques en cuivre ? en fer ? Justifier la réponse.