N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de quatre parties et d'un document en fin d'énoncé.
Les données nécessaires sont regroupées en début de sujet.

Rayonnement, réaction de rayonnement et décalage de Lamb

L'atome d'hydrogène est un des systèmes physiques les mieux connus en tenant compte des corrections relativistes et des corrections liées à la théorie quantique des champs. Le décryptage des propriétés d'émission ou d'absorption de l'atome d'hydrogène a constitué un examen de passage pour la théorie quantique. Dans ce sujet, nous en évoquerons une étape clé qui est le mythique décalage de Lamb.

Willis Eugene Lamb fut le découvreur, avec son étudiant Robert Retherford, du

Photographie extraite de Reflet de la physique,

36, 2013

décalage de Lamb (ou Lamb-shift) en 1947.

Ce décalage est un exemple de l'impact des particules virtuelles en physique fondamentale. Il s'agit d'un très faible écart entre deux niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène qui trouve son origine dans l'interaction entre le seul électron de cet atome et les photons virtuels qui apparaissent et disparaissent en permanence dans le vide qui l'entoure. Ses travaux lui ont valu le prix Nobel en 1955. Le décalage de Lamb a depuis joué un rôle important, à travers la validation des fluctuations de l'énergie du vide, dans la découverte du rayonnement de S . Hawking émanant des trous noirs.

Le sujet, constitué de quatre parties, s'intéresse au rayonnement d'un électron, à la force dite réaction de rayonnement qui traduit l'interaction de la particule avec l'onde électromagnétique qu'il crée et à une de ses manifestations le "Lamb shift ". Certaines redites de l'énoncé sont délibérées pour rendre les parties indépendantes, tout en introduisant un lien logique entre elles.

La partie I sur le rayonnement du dipôle oscillant fait essentiellement appel à l'électromagnétisme.
La partie II sur la résonance de la puissance rayonnée fait essentiellement appel à la mécanique.
La partie III sur l'étude de la courbe de résonance fait appel au programme d'Informatique Pour Tous.

La partie IV sur le " Lamb-shift " fait essentiellement appel à la physique quantique.

Données

Constantes physiques

Constante de Planck :

Constante de Planck réduite :

Vitesse de la lumière dans le vide:

Permittivité du vide :

Perméabilité du vide :

Relation entre ces trois constantes :

Charge élémentaire de l'électron :

Masse de l'électron :

Énergie au repos de l'électron :

Rayon de Bohr :

Constante de structure fine :

Constante de Rydberg énergétique :

Valeur:

Notation: des crochets

indiquent les valeurs moyennes temporelles: par exemple,

Informations

Nomenclature des premiers états d'énergie applicable à l'atome d'hydrogène dans l'ordre du remplissage selon la règle de Klechkowski:

.
La notation

correspond à la valeur

, la notation

correspond à

et la notation

. Dans le modèle semi-classique de Bohr, le rayon de l'orbite circulaire de l'électron autour du noyau d'un niveau

vaut

, l'énergie vaut

et sa vitesse vaut

Spectre électromagnétique

Fréquence (Hz)

Longueur d'onde divisée par 3 (m)

Partie I - Rayonnement par un dipôle oscillant

On rappelle qu'un dipôle oscillant, constitué d'une charge fixe

au point

et d'un électron mobile au point

animé d'un mouvement forcé sur

, tel que

, est caractérisé par son vecteur moment dipolaire

.
Le champ électrique " lointain " créé par ce dipôle, en un point

" très éloigné " repéré en coordonnées sphériques (

) (figure 1), est donné par:

Figure 1 - Coordonnées sphériques d'un point

Q1. Préciser ce que signifie " très éloigné ".
Q2. Justifier par des considérations de symétrie la direction du champ magnétique.
Q3. On donne l'expression du champ magnétique

. Pourquoi dit-on que l'onde est localement plane?

Q4. Écrire le vecteur de Poynting

associé à l'onde.
Q5. Calculer le flux de celui-ci à travers une sphère de centre

et de rayon

très grand.
Q6. En déduire quelle est l'énergie moyenne temporelle rayonnée par l'électron.
Q7. a) Montrer que la puissance moyenne, appelée puissance de Larmor

, rayonnée par cet électron oscillant, peut s'écrire

en appelant

l'accélération de la particule chargée et mobile.
b) Donner l'expression de la constante

en fonction de

et de

et indiquer sa dimension, puis son unité.

Partie II - Mise en évidence d'une résonance de puissance

L'interaction de l'électron, d'accélération

, avec le champ électromagnétique qu'il crée, peut être décrite par une force appliquée à la particule appelée réaction de rayonnement égale à

Q8. a) Donner la définition de la puissance instantanée

associée à cette force.
b) Calculer la valeur moyenne sur une période de cette puissance, pour le mouvement forcé d'un électron mobile placé au point

tel que

Dans un premier temps, on considère que l'électron de masse

est soumis à un ensemble de 2 forces : la force de réaction de rayonnement

et une force de rappel de type élastique

. Le mouvement de l'électron se fait uniquement le long de

Q9. Écrire l'équation différentielle du mouvement

de l'électron.
Q10. On cherche des solutions complexes sous la forme

avec

complexe. Écrire l'équation liant

.
On peut alors écrire

avec

.
Q11. Dans le cadre de cette approximation, on trouve

. Que représente le temps

Pour évaluer la " pulsation "

, on peut supposer que cette force " élastique " modélise l'interaction entre le proton et l'électron, par exemple dans un modèle de Thomson. Dans cette modélisation, on considère la charge du proton

uniformément répartie dans une boule sphérique de rayon égal au rayon de Bohr

Q12. En utilisant le théorème de Gauss, qu'on énoncera, indiquer quel est le champ électrostatique auquel est soumis l'électron en

Q13. a) En déduire ce que vaut la pulsation

définie par

. On l'exprimera en fonction de

et de

.
b) Évaluer numériquement la longueur d'onde associée. Commenter.

Dans un second temps, on considère que l'électron de masse

est soumis à un ensemble de 3 forces: la force de réaction de rayonnement

, la force de rappel de type élastique

et une force électrostatique supplémentaire créée par un champ extérieur oscillant uniforme

.
Le mouvement de l'électron se fait toujours uniquement sur

.
Q14. a) Écrire l'équation du mouvement.
b) En utilisant les notations complexes, déterminer la solution

" forcée " de pulsation

imposée par le champ extérieur. Écrire l'accélération

de l'électron en fonction de

et de

On rappelle que la partie réelle d'une grandeur complexe est la grandeur physique associée :

Q15. a) En admettant que la formule de la puissance de Larmor

peut être utilisée, établir la puissance rayonnée

par l'électron.
b) Que vaut la puissance notée

pour

? Comment s'exprime la puissance

pour

et pour

? Que vaut-elle pour

et pour

tendant vers l'infini ?

On observe donc un phénomène de résonance de la puissance

en fonction de la fréquence. L'expression de la puissance

peut se mettre sous la forme

Q16. On peut montrer que cette fonction

peut s'écrire au voisinage de

sous la forme approchée

.
a) En admettant que les pulsations de coupure haute et basse sont suffisamment proches de

pour que la forme approchée de

convienne et que

, en déduire la pulsation de résonance, la largeur à mi-hauteur

et le facteur de qualité

.
b) L'application numérique de la formule obtenue en Q7b donne

: que valent la largeur de bande passante

et le facteur de qualité

dans le domaine optique?

Partie III - Étude de la résonance (Informatique Pour Tous)

Dans cette partie, on travaillera avec les valeurs de

et de

.
Q17. On cherche à tracer la courbe de la fonction

, définie en Q16, au voisinage de la résonance, de telle sorte qu'on puisse visualiser la largeur à mi-hauteur. On écrit en Python le programme suivant :
import matplotlib.pyplot as plt

n = 10000
a = 4*10**15-10**8
b = 4*10**15+10**8
omega_0 = 4*10**15
tau = 6.3*10**(-24)
X = [a + (b-a)*k/(n-1) for k in range(n)] # valeurs régulières
Y = [1/(1+((omega_0**2-x**2)/(tau*omega_0**3))**2) for x in X]
plt.plot(X,Y,'b-',linewidth=2)
plt.xlim(a,b)
plt.ylim(-1,2)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

a) Que représente la variable nommée " n " ?
b) Sur quelle plage de valeurs de

la fonction

est-elle tracée si on utilise ce programme?
c) Peut-on visualiser la bande passante (telle que calculée à la Q16b) ?
d) Que contient la variable nommée " X " ?

Q18. On cherche également à déterminer les pulsations de coupure

. On les définit comme les deux seules valeurs qui annulent une fonction supposée continue

On écrit en Python le programme suivant :

def dicho(f,a,b,epsilon = 10**(6)):
    if f(a)*f(b)>0 :
        return None
    u = a
    v = b
    while abs(v-u) > 2*epsilon :
        w = (u + v) /2
        if f(u)*f(w) <= 0 :
            v = w
        else :
            u = w
    return (u + v)/2
def h(x):
    omega_0 = 4*10**15

tau = 6.3*10**(-24)
return (1/(1+((omega_0**2-x**2)/(tau*omega_0**3))**2)-1/2)

omega_0 = 4*10**15
m = 10**8
min = dicho(h, omega_0 - m , omega_0)
max = dicho(h, omega_0 , omega_0 + m)

a) Donner l'expression de la fonction

.
b) Quel est le rôle des deux lignes du programme écrites ci-dessous ?

if f(a)*f(b)>0 :
    return None

c) L'exécution de ce programme conduit aux valeurs suivantes :

min = 3999999949218750
max = 4000000050781250

Avec quelle précision cet algorithme dichotomique fournit-il ces résultats ?
d) Calculer la bande passante avec ces résultats. En déduire le facteur de qualité.

Q19. On peut chercher les racines d'une fonction en utilisant la méthode de Newton. On écrit le programme Python suivant :

def g(x):
    omega_0 = 4*10**15
    tau = 6.3*10**(-24)
    return (1/(1+((omega_0**2-x**2)/(tau*omega_0**3))**2)-1/2)
def inconnue(x):
    return expressionA
def methode_newton(f, d, x, epsilon = 10**(6)) : # x : valeur de départ
    dif = 2 * epsilon
    while dif > epsilon :
        x1 = x - f(x) / d(x)
        dif = abs(x1 - x)
        expressionB
    return x
omega_0 = 4*10**15
m = 10**8
min = methode_newton(g, inconnue, omega_0 - m)
max = methode_newton(g, inconnue, omega_0 + m)

a) Dans la fonction nommée " méthode_newton() ", que représente le paramètre nommé " d "?
b) Remplacer " expressionA " par une instruction en Python.
c) Remplacer " expressionB " par une instruction en Python.

Partie IV - Déplacement de Lamb des niveaux d'énergie de l'électron dans l'atome d'Hydrogène

Q20. Écrire les expressions des champs électrique

et magnétique

, associés à une onde plane progressive harmonique de pulsation

, se propageant dans le vide dans la direction des

croissants et dont le champ électrique est polarisé rectilignement selon

. On notera

l'amplitude du champ électrique

et on exprimera en fonction de

l'amplitude du champ magnétique

. Quelles sont les densités d'énergie moyenne associée au champ

, au champ

et au champ électromagnétique?

On suppose que ces expressions sont valables dans la suite dans laquelle on effectue un calcul semi-classique : les fluctuations dites quantiques du vide sont décrites par des champs électriques (et magnétiques) oscillants à toutes les fréquences possibles. Le champ électrique fluctuant est à valeur moyenne temporelle nulle et sa valeur quadratique moyenne est finie.

De plus, l'hypothèse quantique implique que les oscillateurs de pulsation

sont des oscillateurs harmoniques d'énergie

. On suppose que les champs sont confinés dans un espace de volume

. On note

l'amplitude d'une composante harmonique de pulsation

créée par les fluctuations du champ électromagnétique.

Dans les questions suivantes de Q21 à Q23, on s'intéresse à une composante harmonique de pulsation

et on suppose que toutes les grandeurs

qui dépendent du temps sont en régime forcé de même pulsation. On écrira donc la relation, valable en ordre de grandeur,

et réciproquement.

Q21. L'énergie électromagnétique moyenne correspond à celle d'un oscillateur de pulsation

. En déduire l'expression de

dans la boîte en fonction de

et de

Q22. Écrire le principe fondamental à un électron soumis uniquement au champ électrique. En déduire que, pour les fluctuations de la vitesse de celui-ci, on peut écrire l'amplitude de la vitesse

. En déduire ce que vaut le déplacement moyen noté

des niveaux d'énergie cinétique d'un électron en fonction de

et de

Q23. L'accélération

ainsi induite provoque une force de réaction de rayonnement égale à

avec la constante

. On admettra pour la suite l'égalité

. Montrer que la puissance moyenne

correspondante peut " équilibrer "

sur une durée à comparer à

défini par l'égalité ci-dessus.

Q24. On introduira 2 fréquences de coupure

, telles que :

, pour la transition entre 2 états d'énergie " interne "

de l'électron et

à la limite relativiste.

Donner l'expression finale de la fluctuation totale d'énergie

, moyennée sur les fréquences de cette bande passante, en supposant que pour tout domaine entre

é

Q25. C'est cette fluctuation qui conduit au déplacement de type Lamb.
a) Comparer la pulsation de coupure haute

et la pulsation de coupure basse

du niveau

en considérant que la transition d'énergie interne vaut

. En déduire que la fluctuation totale d'énergie

est sensiblement égale à

.
Le Rydberg énergétique

et la constante de structure fine

sont définis dans les données en début du sujet et leurs valeurs numériques sont indiquées.
b) On prendra ici comme volume utile:

avec le rayon de Bohr

. Exprimer la fluctuation totale d'énergie

sous la forme

(constante). En quelle unité peut-on exprimer la constante ?
c) Commenter sachant que la valeur obtenue expérimentalement est d'environ 1058 MHz pour le

du niveau

de l'Hydrogène. Comment pourrait-on améliorer le modèle ?

L'évaluation proposée ci-dessus est en fait beaucoup trop approximative. Si on utilise la théorie complète adéquate, on obtient bien 1058 MHz pour la fluctuation d'énergie du niveau 2 s . On se propose ici de se rapprocher de ce résultat théorique.
Il faut d'abord tenir compte de la densité des états dans le volume du cube des modes électromagnétiques du vide, dont nous n'avions pas tenu compte en Q24 et Q25. Pour ne pas faire du semi-classique, il faut utiliser la fonction d'onde stationnaire

de l'électron (solution de l'équation de Schrödinger). Le fait que l'énergie ne dépende que du nombre quantique principal

n'est pas remis en question dans les solutions de l'équation de Dirac qui remplace l'équation de Schrödinger en tenant compte du spin de l'électron et de la relativité restreinte. Donc, sans tenir compte de l'électrodynamique quantique, les niveaux

sont de même énergie, faute de fluctuations des champs. Inversement, tout se passe comme si les champs électromagnétiques aléatoires poussaient l'électron plus loin du proton en moyenne, ce qui augmente son énergie.

À l'issue de calculs très complexes, on peut établir que la fluctuation d'énergie totale vaut alors:

expression

dans laquelle la partie (expression) ne dépend que de constantes fondamentales de la physique

Q26. On rappelle (figure 2 ) que les probabilités de présence de l'électron au centre ne sont non nulles que pour les orbitales ns et nulles pour toutes les autres (qui ne sont pas à symétrie sphérique). Les caractéristiques du modèle de Bohr sont indiquées dans les données en début de sujet.
a) En déduire que le déplacement de Lamb ne concerne donc que les niveaux

.
b) Le calcul complet de (expression)

en unités

donne la valeur 1058 MHz . Comparer cette énergie avec celle de la transition désexcitatrice qui fait passer l'électron de

.
c) L'électron

du modèle de Bohr est-il relativiste ? Pourquoi faudrait-il faire tout de même une correction relativiste?
d) La raie

du spectre de Lyman correspond au retour d'un état

à l'état fondamental. Quelle est la longueur d'onde et le domaine spectral du photon émis ?

Figure 2 - Représentations

de autour de

pour les 6 premières orbitales de l'électron dans l'atome d'hydrogène

Seuls les états s ont une probabilité non nulle d'être à l'origine.

Q27. À cause de l'interaction entre le spin de l'électron et le champ magnétique du proton (interaction spin-orbite) le niveau

est en fait constitué de deux états notés

dont la différence d'énergie vaut

.
Quelle est la longueur d'onde et le domaine du photon émis quand l'électron passe de l'état

à l'état

?
Quelle conséquence cet effet de structure fine aura-t-il sur la raie

du spectre de Lyman?
En présence d'un champ magnétique

extérieur suffisamment intense, l'interaction entre le dipôle magnétique de l'atome d'hydrogène

et le champ

modifie l'énergie de

suivant que le moment magnétique aligné sur les lignes de champ est de sens contraire ou de même sens que le champ magnétique.
En conséquence, en présence d'un champ magnétique, en notant

le magnéton de Bohr :

le niveau va donner deux niveaux séparés de ,
le niveau va en fait donner 2 niveaux d'énergie séparés de ,
et le niveau va donner 4 niveaux séparés de . Cet effet s'appelle l'effet Zeeman.

Q28. Sur la figure 3, le schéma des niveaux successifs d'énergie du modèle de Bohr est représenté sans que les échelles soient respectées par commodité de représentation. Après avoir recopié la figure 3 sur sa copie, le candidat devra remplacer chaque " ? " soit par un nom d'orbitale, soit par la longueur d'onde émise quand l'électron passe du niveau supérieur au niveau inférieur, soit par le nom du domaine de rayonnement associé.

Figure 3 - Modèle de Bohr

Q29. Sur la figure 4, le schéma des niveaux successifs d'énergie, obtenus par l'équation de Dirac en tenant compte du décalage de Lamb et de la structure fine, est représenté sans que les échelles soient respectées par commodité de représentation. Après avoir recopié la figure 4 sur sa copie, le candidat devra remplacer chaque " ? " soit par un nom d'orbitale, soit par une longueur d'onde émise quand l'électron passe du niveau supérieur au niveau inférieur, soit par le nom du domaine de rayonnement associé.

Figure 4 - Niveaux

sans présence de champ magnétique

Q30. En figure 5, le schéma des niveaux successifs d'énergie, obtenus par l'équation de Dirac en tenant compte du décalage de Lamb et de la structure fine, est représenté (sans que les échelles soient respectées par commodité de représentation) en présence d'un champ magnétique

qui engendre un effet Zeeman. Sur cette figure 5, on a représenté deux différences de niveau d'énergie entre deux flèches (en gros pointillés). Le candidat les exprimera en fonction du décalage Lamb noté

, de la quantité

et de l'énergie de structure fine notée

Figure 5 - Déplacements par champ magnétique

Q31. Le document en fin de sujet présente l'expérience historique de 1947.
Pourquoi les expérimentateurs ont-ils utilisé un champ magnétique ? Pourquoi ont-ils introduit un champ électromagnétique micro-ondes ? Quels paramètres font-ils varier ? Pourquoi le détecteur mesure-t-il une intensité de courant ?

Q32. On revient au modèle semi-classique du modèle de Bohr dans lequel l'électron décrit une orbite circulaire de rayon

autour du noyau. On exprimera les réponses en fonction de

et de

.
a) Que vaut l'accélération de l'électron?
b) Que vaut l'énergie potentielle? Que vaut l'énergie cinétique? Que vaut l'énergie?

Un traitement semi-classique de l'atome d'hydrogène permet une approche énergétique de la modification du rayon en écrivant un bilan de la forme :

Q33. a) Interpréter ce bilan.
b) En déduire l'équation différentielle à laquelle obéit

.
c) Établir le temps de retour

pour un électron d'un état excité sur une orbite de rayon

à un état moins excité sur une orbite de rayon

.
d) Application : évaluer le temps de désexcitation d'un niveau 2 au niveau 1. Comparer à la valeur indiquée dans le document.

Document - L'expérience de 1947

Faisceau d'électrons

Les atomes se désexcitent rapidement vers

et ne peuvent pas éjecter d'électrons de tungstène.

Durée de vie de

Schéma de l'expérience de Lamb et Retherford. Les atomes d'hydrogène, obtenus par dissociation thermique de , sont préparés dans l'état , puis excités dans l'état métastable par un faisceau d'électrons. L'application d'un champ magnétique lève la dégénérescence des niveaux par effet Zeeman, et un champ radiofréquence de fréquence adaptée induit des transitions à partir de l'état vers les états et . Après avoir traversé la région où règne le rayonnement électromagnétique, les atomes d'hydrogène métastables entrent en collision avec une cible de tungstène. Des électrons de la cible sont éjectés et recueillis par un détecteur. Les atomes se trouvant dans les états et ayant une durée de vie très courte ( ), se désexcitent très rapidement (avant d'atteindre la feuille de tungstène) vers l'état fondamental et ne peuvent pas éjecter des électrons de tungstène, d'où une baisse de courant dans le détecteur observée à la résonance quand on fait varier la fréquence ou le champ magnétique. La variation mesurée par Lamb et Retherford était de l'ordre de ampères!

Effet Zeeman (champ magnétique)

C'est l'excitation de la transition entre sous-niveaux Zeeman de et de ( ) qui a permis à Lamb et Retherford, grâce aux formules de l'effet Zeeman, d'accéder au décalage en énergie de (on connaît exactement la position relative d'un sous-niveau Zeeman par rapport à son niveau « parent »).

Source : Reflets de la physique

36, 2013