N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Ce sujet comporte deux problèmes indépendants qui portent sur des thèmes différents.
Chaque problème comporte plusieurs parties qui sont le plus souvent indépendantes les unes des autres.
Premier problème : Oscillations mécaniques
Nous nous proposons, dans ce problème, d'étudier quelques exemples d'oscillateurs mécaniques.
Pour chacune des parties, l'étude sera menée dans le référentiel du laboratoire considéré comme galiléen.
Dans l'ensemble du problème, désigne le vecteur accélération de la pesanteur. On notera la norme du vecteur .
Il est rappelé que lorsqu'un corps est immergé, partiellement ou totalement, dans un fluide de masse volumique , ce corps est soumis, en plus de son poids, à une force appelée poussée d'Archimède et telle que où désigne le volume du corps immergé dans le fluide.
On négligera la poussée d'Archimède dans l'air.
Données trigonométriques:
Première partie : Oscillateur harmonique non amorti
Considérons le système représenté ci-dessous : une masse est suspendue à un ressort vertical de masse négligeable et de raideur . L'extrémité supérieure du ressort est fixe et attachée au point . Soit l'axe ( ), vertical et orienté vers le bas. La position de l'extrémité libre du ressort est repérée par son abscisse .
Soit la longueur à vide du ressort et sa longueur lorsque la masse est accrochée au ressort et est à l'équilibre.
1/ Equation différentielle du mouvement
1.1/ Faire le bilan des forces appliquées à la masse . Appliquer la deuxième loi de Newton et déterminer l'équation différentielle (1) vérifiée par . Que devient cette équation lorsque la masse est à l'équilibre ? On appellera (2) l'équation obtenue dans ce cas.
Déduire de l'équation (2) l'expression de la longueur du ressort à l'équilibre en fonction de , et .
1.2/ Déterminer en combinant les équations (1) et (2), l'équation différentielle (3) vérifiée par et liant et . En déduire la pulsation propre et la période propre de l'oscillateur ainsi obtenu.
1.3/ A l'instant , la masse est dans une position telle que la longueur du ressort est égale à . On communique alors à la masse une vitesse verticale. Déterminer dans ce cas la solution de l'équation différentielle (3).
Deuxième partie : Oscillateur harmonique amorti par frottement fluide
La masse du système de la partie précédente est une sphère homogène de masse volumique et de rayon faible.
Lorsque cette sphère est animée d'une vitesse et plongée dans un liquide de coefficient de viscosité , elle est soumise, de la part du fluide, en plus de la poussée d'Archimède, à une force de frottement donnée par la loi de Stokes : .
On négligera les interactions éventuelles entre le ressort et le liquide.
Pour simplifier les calculs, on notera V le volume de la sphère et sa masse.
2/ Période de l'oscillateur non amorti
En l'absence de frottement et de poussée d'Archimède (dans le vide ou dans l'air), les oscillations libres de la sphère ont une pulsation propre . En utilisant les résultats de la partie précédente, déterminer l'expression de en fonction de et .
Dans la suite de cette deuxième partie, la sphère est totalement immergée dans un liquide de masse volumique . On considèrera, de plus, que la sphère est entièrement immergée dans le liquide quelle que soit la position de l'oscillateur.
3/ Détermination de la masse volumique du liquide
Lorsque la sphère est totalement immergée dans le liquide et est à l'équilibre, la longueur du ressort est égale à .
Faire le bilan des forces appliquées à la masse .
Déterminer l'expression de la masse volumique du liquide en fonction de et .
4/ Oscillations pseudopériodiques de la sphère immergée dans le liquide
4.1/ En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer l'équation différentielle vérifiée par la longueur du ressort à un instant quelconque au cours du mouvement.
En utilisant l'expression de la masse volumique du liquide déterminée à la question précédente, déterminer l'équation différentielle vérifiée par en utilisant les grandeurs et .
4.2/ A quelle condition portant sur , constante de raideur du ressort, le mouvement de la sphère estil pseudopériodique? On exprimera la condition sous la forme où est une constante que l'on exprimera en fonction de et .
Déterminer dans ce cas la pseudopulsation des oscillations en fonction de et .
5/ Détermination du coefficient de viscosité du liquide
On considère dans cette question que la condition sur pour avoir des oscillations pseudopériodiques est satisfaite. En utilisant les expressions de et déterminées précédemment, donner l'expression du coefficient de viscosité du liquide en fonction de , et .
Troisième partie : Oscillations forcées : puissance absorbée par l'oscillateur
Soit un oscillateur amorti par frottement fluide constitué par une masse suspendue à un ressort de masse négligeable. La position de la masse étant repérée par son abscisse , en régime libre l'équation différentielle vérifiée par est de la forme :
désigne la pulsation propre de l'oscillateur harmonique.
L'oscillateur est soumis à une excitation extérieure sinusoïdale de pulsation donnée par :
est le vecteur unitaire de l'axe des abscisses .
Dans ce cas l'équation différentielle du mouvement s'écrit :
En régime permanent les oscillations forcées sont telles que avec et deux constantes.
6/ Régime permanent
Remarque : On pourra dans cette question utiliser les notations complexes, si nécessaire. Il faudra pour cela définir clairement les notations utilisées.
6.1/ Déterminer l'amplitude des oscillations forcées en fonction de et .
6.2/ représentant le déphasage entre la source d'excitation extérieure et la réponse de l'oscillateur, déterminer les expressions de et en fonction de et .
7/ Puissance absorbée par l'oscillateur
7.1/ Après avoir préalablement déterminé l'expression de la vitesse de l'oscillateur au cours du temps, déterminer la puissance instantanée fournie par la force excitatrice. En déduire la valeur moyenne de . Déterminer l'expression de en fonction de et .
7.2/ L'expression de déterminée à la question précédente peut être mise sous la forme :
En déduire, sans calculer la dérivée de mais en examinant le dénominateur, la pulsation pour laquelle est maximale ainsi que l'expression correspondante en fonction de et .
Donner l'allure de la représentation graphique de en fonction de .
Donner une justification physique à l'existence et à la valeur de .
Quatrième partie : Petites oscillations d'un bouchon de liège à la surface de l'eau
Un bouchon de liège, homogène, de volume , de forme cylindrique, flotte horizontalement à la surface de l'eau de masse volumique . Il a pour longueur et son rayon est égal à .
La position du bouchon est repérée par l'abscisse de son centre de gravité. L'axe est vertical et dirigé vers le haut. Le point est au niveau de la surface de l'eau.
On suppose que le bouchon garde toujours son axe horizontal au cours du mouvement. On négligera toute force de frottement due à la viscosité du liquide.
8/ A l'équilibre, le bouchon est à moitié enfoncé dans l'eau, l'abscisse de son centre de gravité est donc nulle dans ce cas. Déterminer la masse volumique du bouchon de liège en fonction de .
9/ On étudie dans cette question les petites oscillations du bouchon de liège autour de sa position d'équilibre. On se place donc dans le cas où est petit devant .
9.1/ Montrer que si , le volume de bouchon immergé peut se mettre sous la forme où est le volume total du bouchon et une constante que l'on exprimera en fonction des dimensions et du bouchon.
9.2/ En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse en utilisant les grandeurs et
En déduire la pulsation des petites oscillations verticales de ce bouchon en fonction de et .
9.3/ A l'instant , le bouchon est éloigné de sa position d'équilibre. Il est lâché sans vitesse initiale d'une position repérée par l'abscisse et petit devant . Déterminer l'expression de l'abscisse en fonction du temps.
Deuxième problème : Utilisation de solénoïdes
Rappels :
Soit un solénoïde de section quelconque, infiniment long et comportant spires par unité de longueur. Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS), lorsque les spires sont parcourues par un courant d'intensité , le solénoïde crée un champ magnétique nul en tout point extérieur au solénoïde et égal à en tout point intérieur au solénoïde ( désigne la permittivité du vide et un vecteur unitaire colinéaire à l'axe du solénoïde).
La densité volumique d'énergie magnétique due à un champ magnétique est donnée par :
Formule donnant le rotationnel d'un vecteur en coordonnées cylindriques ( ) :
On se placera dans l'ensemble de ce problème dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires.
Première partie : Champ magnétique créé par un tore et passage au solénoïde infini
1/ Enoncer le théorème d'Ampère. On veillera à expliquer soigneusement la signification des différents termes qui apparaissent dans cet énoncé.
Quelle est l'équation de Maxwell qui permet de démontrer ce théorème ? Ecrire cette équation.
On désire dans les questions qui suivent, retrouver l'expression du champ magnétique créé par un solénoïde infini à partir de l'étude d'un tore.
Un tore est engendré par la rotation d'une surface plane autour d'un axe ( ). Un fil conducteur est régulièrement enroulé sur le tore et forme une bobine de spires parcourues par un courant . L'espace est rapporté à la base cylindrique ( ). Un point quelconque de l'espace est repéré par ses coordonnées ( ).
Soit le rayon intérieur du tore et le rayon extérieur.
Vue de dessus
Coupe transversale
2/ Symétries
Etudier les symétries et invariances de la distribution de courant. En déduire que le champ magnétique se met sous la forme où est une fonction qui ne dépend que des variables d'espace et .
3/ Expression du champ magnétique
En utilisant le théorème d'Ampère, déterminer l'expression du champ magnétique en un point de l'espace repéré par ses coordonnées cylindriques ( ). On distinguera les deux cas où le point se trouve à l'intérieur ou à l'extérieur du tore.
4/ Cas d'un solénoïde infini
En remarquant que le tore précédent se comporte comme un solénoïde infini lorsque son rayon tend vers l'infini, justifier l'expression, rappelée précédemment, du champ magnétique créé par un solénoïde infini en tout point de l'espace.
Deuxième partie : Inductance d'un solénoïde
On désire dans cette partie déterminer l'inductance d'un solénoïde de deux manières différentes.
On considère un solénoïde de longueur constitué de spires régulièrement espacées, supposées jointives, de section . Sa longueur est très grande devant ses dimensions latérales et on peut considérer que le solénoïde se comporte comme un solénoïde infini.
Les spires du solénoïde sont parcourues par un courant d'intensité .
5/ Détermination de l'inductance du solénoïde en considérant le flux propre
En précisant clairement les orientations choisies pour le calcul, déterminer le flux du champ magnétique calculé précédemment à travers une spire du solénoïde. En déduire le flux propre du champ magnétique à travers le solénoïde.
En déduire l'inductance du solénoïde en fonction de et .
6/ Détermination de l'inductance du solénoïde en considérant l'énergie magnétique
6.1/ Soit un solénoïde d'inductance et parcouru par un courant variable au cours du temps. En négligeant la résistance du solénoïde et en utilisant la convention récepteur que l'on précisera, rappeler l'expression de la tension aux bornes du solénoïde précédent. On exprimera en fonction de et .
6.2/ En écrivant la puissance électrique instantanée mise en jeu dans la bobine, en déduire l'expression, en fonction de et , de l'énergie magnétique accumulée par le solénoïde.
6.3/ En considérant l'expression de la densité volumique d'énergie magnétique rappelée au début du problème, déterminer une autre expression de l'énergie magnétique accumulée par le solénoïde. En déduire l'expression de l'inductance du solénoïde en fonction de et .
Troisième partie : Régimes transitoires entre deux solénoïdes couplés
Nous nous proposons dans cette partie d'étudier l'établissement de l'intensité dans un circuit série comportant une bobine et une résistance (circuit ) puis dans deux circuits couplés.
7/ Etablissement du courant dans le solénoïde
Soit un circuit comportant un solénoïde d'inductance supposée constante et une résistance associées en série. On alimente ce circuit avec un générateur de tension stabilisée de force électromotrice .
Nous supposons qu'il n'existe aucune autre source de champ magnétique que le solénoïde.
L'intensité est initialement nulle pour . A l'instant , l'interrupteur est fermé.
En détaillant clairement le calcul de la constante d'intégration, déterminer l'expression de l'intensité dans le circuit en fonction du temps , de et .
Quelle est la valeur de l'intensité au bout d'un temps infini?
8/ Soit deux circuits couplés.
Le premier circuit comporte un solénoïde d'inductance , une résistance , un générateur de tension stabilisée de force électromotrice et un interrupteur disposés en série. Soit l'intensité du courant qui parcourt ce circuit.
Le deuxième circuit comporte un solénoïde d'inductance et une résistance en série. Soit l'intensité du courant qui parcourt ce circuit.
Les sens choisis pour les intensités et sont mentionnés sur le schéma ci-dessous.
Pour simplifier les calculs, on suppose que le coefficient d'inductance mutuelle est positif.
M
8.1/ En utilisant la loi des mailles, écrire les deux équations différentielles couplées vérifiées par et lorsque l'interrupteur est fermé.
8.2/ En effectuant le changement de variables et , en déduire deux équations différentielles découplées en et .
8.3/ L'interrupteur est initialement ouvert (pour ). A un instant choisi comme origine du temps ( ), l'interrupteur est fermé.
En posant et , déterminer les expressions des intensités et pour , dans le cas où est inférieur à . Donner l'allure des représentations graphiques de et en fonction du temps.
Quatrième partie : Champs électrique et magnétique à l'intérieur d'un solénoïde
9/ Champ électrique à l'intérieur d'un solénoïde
On considère un solénoїde circulaire de rayon comportant spires jointives par unité de longueur. Sa longueur est très grande devant ses dimensions latérales et on peut considérer que le solénoïde se comporte comme un solénoïde infini.
Les spires du solénoïde sont parcourues par une intensité sinusoïdale de pulsation :
L'espace est rapporté à la base cylindrique ( ). Un point quelconque de l'espace est repéré par ses coordonnées ( ).
9.1/ Montrer, en utilisant l'équation de Maxwell-Faraday, qu'un champ électrique est nécessairement créé par le solénoïde.
9.2/ En admettant que le champ électrique est orthoradial (dirigé suivant le vecteur ) et ne dépend que de , déterminer l'expression du champ électrique créé par le solénoïde en tout point de l'espace en fonction de et .
10/ Introduction d'un conducteur dans le solénoïde
Un cylindre métallique de conductivité , de rayon et de longueur très grande par rapport à est placé à l'intérieur du solénoïde précédent. L'axe du solénoïde et l'axe du cylindre sont confondus.
On fait l'hypothèse que l'introduction du conducteur cylindrique ne modifie pas sensiblement les champs électrique et magnétique créés à l'intérieur du solénoïde en l'absence du cylindre conducteur.
10.1/ Effet Joule dans le cylindre métallique
10.1.1/ En appliquant la loi d'Ohm locale, déterminer la densité de courant volumique qui apparaît dans le cylindre conducteur en fonction de et . On n'omettra pas de préciser la direction du vecteur .
10.1.2/ Déterminer l'expression de la puissance instantanée dissipée par effet Joule dans un volume élémentaire du cylindre. On exprimera en fonction de , et .
Par intégration de l'expression précédente de , déterminer la puissance instantanée dissipée par effet Joule dans le cylindre. On exprimera en fonction de et .
Déterminer la moyenne temporelle de la puissance instantanée en fonction de , et .
10.1.3/ Citer une application classique du phénomène physique ainsi mis en évidence dans la question précédente.
10.2/ Influence du conducteur cylindrique sur le champ magnétique
10.2.1/ Soit le champ magnétique variable créé par la densité volumique de courant calculée au 10.1.1/ à l'intérieur du cylindre conducteur.
On admettra que le champ se met sous la forme où est une fonction qui ne dépend que de et du temps et que le champ est nul à l'extérieur du cylindre conducteur. En utilisant le théorème d'Ampère, déterminer l'expression de à l'intérieur du cylindre conducteur. On précisera clairement le contour choisi pour l'application de ce théorème.
10.2.2/ On souhaite déterminer les conditions dans lesquelles l'hypothèse faite précédemment est valable (l'introduction du conducteur ne modifie pas le champ magnétique existant dans le solénoïde en l'absence du cylindre conducteur). désignant le champ magnétique créé dans le solénoïde en l'absence du cylindre conducteur, déterminer le rapport des amplitudes des champs magnétiques et en un point se trouvant à l'intérieur du cylindre conducteur. On exprimera ce rapport en fonction de et .
10.2.3/ Les dimensions du solénoïde et du cylindre conducteur étant fixées, quelles sont les conditions sur et à vérifier pour que l'hypothèse précédente soit valable?
Fin de l'énoncé
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