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Centrale Mathématiques 1 MP MPI 2025

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Algèbre généraleCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesSéries et familles sommablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
Centrale
Année
2025
Filière
MP/MPI
Matière
Maths
Centrale MP/MPICentrale 2025MP/MPI MathsMaths 2025
2025_08_29_5dba571ffbd14af160a1g

Irrationalité de

Notations

  • Si , on note sa partie entière.
  • Si est un nombre premier et si , on note la valuation -adique de , c'est-à-dire le plus grand entier naturel tel que divise .
  • Si est un réel supérieur ou égal à 1 , on note le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à . En d'autres termes,
où désigne le cardinal de l'ensemble fini .

Partie A - Un encadrement de la fonction

Le but de cette partie est d'établir l'encadrement suivant de la fonction :

I - Calculs préliminaires

Q1. Soit . Montrer que
Q2. Montrer que, pour tout ,
On pourra procéder par récurrence et effectuer l'hérédité en discutant suivant la parité de .
Q3. En déduire que, pour tout réel ,
Q4. Montrer que, pour tout ,
Q5. Soit un nombre premier. Montrer que, pour tout ,
Q6. En déduire que, pour tous et nombre premier : si divise , alors .

II - Majoration de

Q7. Soit . Justifier que
Q8. En déduire que, pour tout ,
Q9. Soit . Justifier que
puis en déduire que
On pourra remarquer que .
Q10. Soit . En utilisant la croissance de la fonction sur l'intervalle [ [, montrer que

III - Minoration de

Q11. Soit . Montrer que
Q12. Soit . Vérifier que
puis en déduire que
Q13. Soit . Montrer que
On pourra poser et utiliser .
L'inégalité précédente a été asymptotiquement améliorée en 1896, ainsi on admettra dans la suite du problème le (difficile) résultat suivant, appelé théorème des nombres premiers,

Partie B - Une majoration d'un PPCM

I - Une première majoration

Q14. Soit . Soient des entiers naturels non nuls. Justifier qu'il existe un unique entier naturel tel que
Q15. Soit . Soient des entiers naturels non nuls. Montrer que est le plus petit entier naturel non nul qui est divisible par .
Soit . Si sont des entiers naturels non nuls, s'appelle le plus petit commun multiple de et on le notera dans la suite .
Pour tout , on note le PPCM des entiers naturels compris entre 1 et , autrement dit : .
Q16. Calculer et , puis montrer que pour tout entier naturel .

II - Une majoration plus fine

Le but de cette sous-partie est d'améliorer la majoration de .
Dans les deux questions suivantes, on fixe un entier naturel non nul et, pour tout nombre premier , on note le plus grand entier naturel tel que .
Q17. Montrer que .
Q18. Pour tout nombre premier , montrer que . En déduire que .
Q19. En déduire qu'il existe un entier naturel non nul tel que, pour tout . On pourra utiliser le théorème des nombres premiers mentionné ci-dessus.

Partie C - Un critère d'irrationalité

Soit . On suppose qu'il existe deux suites d'entiers naturels non nuls et telles que
On suppose en outre que pour tout .
Q20. Montrer que est un nombre irrationnel.
Soit .
Q21. Justifier que est bien défini, puis montrer que est un nombre irrationnel.
Q22. Soit . Justifier que est bien défini, puis montrer que l'on peut écrire
et .
Q23. Peut-on appliquer le résultat de à ces suites et pour conclure sur l'irrationalité de ?

Partie D - Calcul d'une intégrale double

I - Une intégrale double

Soient et deux entiers naturels strictement positifs tels que .
Q24. Soit . Justifier que la fonction
est intégrable sur .
On pose, pour ,
Q25. Montrer que est continue et intégrable sur .
On pose
Q26. Montrer que

II - Une écriture sous forme de quotients

Dans cette sous-partie, on suppose .
Q27. Justifier que
Q28. En déduire que
Q29. En déduire que
Q30. En déduire que l'on peut écrire
avec et des entiers naturels et divisant .
On admettra que .

Partie E - Une démonstration de l'irrationalité de

On définit sur la fonction par :
Q31. Soit . Justifier que est une fonction polynomiale sur de degré à coefficients dans .
On pose dans la suite
avec pour tout et .
Q32. Soit . Justifier l'existence de
et montrer que
Q33. Soit . En déduire qu'il existe deux entiers relatifs et tels que
On admettra dans toute la suite que et sont non nuls pour tout .
Q34. Soit . Montrer que pour tout ,
Q35. En déduire que
Q36. Montrer que
Q37. Soit . En déduire que
Q38. Montrer qu'il existe tel que pour tout ,
On pourra utiliser, sans la prouver, l'inégalité .
Q39. Montrer que est un nombre irrationnel.
Q40. On admet, uniquement dans cette question, que . Montrer que est un nombre irrationnel.
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