Centrale Mathématiques 1 MP 2001

Pour tout entier naturel non nul , on notera le polynôme de Taylor d'ordre n del'exponentielle au point 0 :

On notera : un système de racines complexes de . On remarquera qu'en posant

le système est un système de racines du polynôme

Le but de ce problème est d'établir les deux résultats suivants, auxquels on donnera un sens précis et dont la preuve fera l'objet des parties II et III du problème, qu'on peut conjecturer à l'aide d'un logiciel de calcul formel :

Lorsque , les nombres complexes tendent à "s'accumuler" sur le cercle de centre 0 et de rayon .
Les nombres complexes tendent à se répartir "régulièrement" sur le cercle précédent. Dans la dernière partie on applique ce résultat à l'obtention d'un équival ent du nombre de racines de dont la partie réelle est positive. Enfin quelques rappels dont la preuve n'est pas demandée.

1- Une suite extraite (ou sous suite) d'une suite ( ) de nombres complexes est une suite de la forme ( ) où ( ) est une suite strictement croissante d'entiers [ on pourra noter , si l'on préfère].
2- De toute suite bornée de nombres réels ou complexes on peut extraire une suite convergente.
3- (Convergence dominée pour les séries) Soit , une suite double de nombres complexes. On suppose qu'existe une suite ( ) de réels positifs telle que :
Pour tout couple ( ), .
Pour tout entier , la suite a admet une limite .
La série de terme général converge.

Alors pour tout la série
converge et la série converge
et I'on a:

Les trois premières parties sont indépendantes entre el les sauf les questions II.E. 3 et III.C.1.

I.A - Soit un nombre complexe ( et ). Déterminer, en fonction de et de une forme trigonométrique du nombre complexe .
I.B - Démontrer que la fonction u , définie sur ] 0,1 ] par :

est un homéomorphisme croissant de ] 0,1 ] sur ] - ] dont la fonction réciproque est de classe sur .
I.C - En déduire l'existence d'une fonction a de IR dans IR telle que pour tout réel et :

I.D - Exprimer de manière simple . Donner une valeur approchée à près, en justifiant l'algorithme utilisé, de la constante .
I.E - Montrer que est une fonction continue, -périodique et paire; démontrer qu'elle est de classe sur et que, pour tout :

I.F - Donner un équivalent simple en de la fonction définie par ha lorsque par valeurs supérieures (u est défini au I.B). Grâce à une expression de à l'aide de , en déduire que, lorsque par valeurs supérieures :

Prouver que a est de classe par morceaux sur IR .
I.G - Un plan affine euclidien orienté est rapporté à un repère orthonormé direct ; dessiner sommairement la courbe dont une équation polaire est . Quelle est l'image de par la transformation complexe za ?

n désigne toujours un entier naturel non nul.
II.A - Prouver que, pour , les sont deux à deux distincts. Il en est donc de même des .
II.B - Pour entier naturel, on pose:

On considère le polynôme défini par :

où a été défini par la formule (1). Montrer que

Exprimer les racines de à l'aide des .

II.C.1) Soit r un réel tel que . Montrer que, pour tout nombre complexe z tel que :

Déterminer :

11.C.2) En déduire que, pour assez grand, toute racine de satisfait puis que pour tout , il existe un entier naturel tel que pour tout entier naturel , on ait:

II.D - On considère une suite ( ) de nombres complexes qui converge vers un complexe tel que .
II.D.1) Déterminer la limite de la suite si .
II.D.2) On suppose , déterminer la limite des suites de terme général :

puis la limite de la suite de terme général :

II.E.1) Soit une racine complexe du polynôme . Prouver la relation:

(on pourra utiliser uneformule deTaylor)
II.E.2) Soit ( ) une suite strictement croissante d'entiers naturels et ( ) une suite de complexes telle que, pour chaque entier soit une racine de . On suppose de plus que cette suite converge vers un nombre complexe . Montrer que et en déduire, à l'aide de la formule (2), que .
II.E.3) Démontrer qu'en posant :

(on pourra raisonner par l'absurdeet utiliser la question précédente).

Dans toute cette partie, est un entier naturel non nul. On pose, pour , non nul :

On note le module de et IR l'un quel conque de ses arguments, de sorte que :

Enfin on rappelle que le polynôme et les ont été définis à la question II.B.
III.A - Démontrer, que la fonction de la variable réelle :

est développable en série entière au voisinage de 0 et que:

III.B.1) Établir, pour , et , la relation:

III.B.2) Calculer . Prouver, par récurrence sur l'entier , que, pour tout et pour tout :

en déduire:

III.C.1) Soit non nul. Prouver que:

III.C.2) En déduire que, si f est une fonction -périodique, continue, de classe par morceaux sur IR, à valeurs complexes:

IV.A - Notons le module de et son argument tel que . Démontrer que:

(on pourra raisonner commeà la question II.E.3).
Comment interpréter ce résultat qualitativement ?
IV.B - Déduire de la question III.C. 2 et de la précédente que, si f est unefonction -périodique, continue, de classe par morceaux sur IR, à valeurs complexes :

IV.C - On note le nombres de racines de dont la partie réelle est positive. Démontrer que lorsque :