Centrale Mathématiques 1 MP 2004

Avertissement
Les trois parties sont indépendantes. Le résultat final de la Partie I fournit une valeur particulière de la fonction étudiée dans les parties II et III.

I.A.1) Calculer, sous forme trigonométrique réelle, les coefficients de Fourier de la fonction -périodique impaire , nulle en 0 et , et égale à 1 sur . Pour tout entier , expliciter la somme partielle de Fourier de .
I.A.2) Que peut-on dire de la suite de fonctions ( ) ? En déduire la valeur de

I.A.3) Calculer

I.B.1) Préciser le domaine d'existence dans de

Exprimer à l'aide de fonctions usuelles.
I.B.2) Calculer l'intégrale

I.B.3) En déduire la valeur de

I.B.4) Exprimer

en fonction de et . En déduire la valeur de .

Dans toute la suite, on utilise les notations qui suivent:

Pour tout complexe tel que la fonction est intégrable sur , on pose

On définit ainsi une fonction de la variable complexe ; on notera encore, par extension, la fonction de deux variables réelles associée.
Ainsi, pour .
Le but du problème est d'étudier la fonction .

II.A - Montrer que le domaine de définition de est . On pose .
II.B - Déterminer la limite de quand la partie réelle de tend vers .

II.C.1) Déterminer la limite de quand le réel tend vers 1.
II.C.2) Pour tout , on pose

II.C.3) Prouver que la limite de , quand tend vers 1 , existe et est finie.
II.C.4) En déduire la limite de quand tend vers 1 .
II.D - Montrer que la restriction de à est . Pour tout , donner l'expression de la dérivée -ième sous forme intégrale.

II.E.1) Établir que est de classe sur . Si et sont deux entiers et si , exprimer la dérivée partielle

II.E.2) Comparer et .
II.E.3) Évaluer .

II.F.1) Soient et une suite de points de , distincts de , qui converge vers . Prouver l'existence de

On pourra utiliser la continuité de et de , ainsi que le résultat de II.E.2.
On observera que cette limite ne dépend que de , et non de la suite .
Par la suite, on note cette limite.
On définit ainsi une application .
II.F.2) Pour tout entier , démontrer l'existence de l'application . On convient que .

II.G.1) Pour tout réel , développer en série entière de la fonction . Préciser le rayon de convergence.
II.G.2) Établir qu'au voisinage de 0 ,

II.G.3) Quel est le rayon de convergence de la série entière (1) ?

II.H.1) Déterminer un équivalent de quand .
II.H.2) Quelle est la nature de la série (1) quand ?

III.A.1) Développer en série entière de la fonction . Préciser le rayon de convergence.
III.A.2) Pour tout entier et tout , calculer

III.A.3) Démontrer que .
III.B -

III.B.1) Pour tout , exprimer

sous forme d'une série ne faisant plus intervenir d'intégrale. Préciser .
III.B.2) Déterminer un équivalent de quand tend vers 1.

III.C.1) Si , on pose . Les fonctions et sont-elles intégrables sur ? Préciser la valeur de

III.C.2) Pour quelles valeurs des réels et , la somme

III.C.3) Si

où et sont des entiers , calculer . En déduire la valeur de

III.D.1) Démontrer que la série de fonctions obtenue en III.A. 3 converge sur un domaine de que l'on précisera. On note encore le prolongement de à . Prouver que est de classe sur .
III.D.2) Soient un réel, un entier et deux complexes dont les parties réelles sont majorées par . Pour tout entier , majorer en fonction de et .
III.D.3) Avec les notations de II.F. 1 et II.F.2, pour tout entier et tout , établir l'existence de qu'on exprimera sous forme de somme d'une série.

III.E.1) Pour tout entier , évaluer , défini en II.G.2, sous forme de somme d'une série numérique.
III.E.2) Retrouver, à l'aide du III.E.1, le résultat obtenu en II.H.1.