Centrale Mathématiques 1 MP 2008

Dans tout ce problème désigne l'espace vectoriel des fonctions continues, -périodiques de dans muni du produit scalaire défini par :

dont la norme associée est notée . Le choix du facteur dans la définition du produit scalaire (contrairement à habituellement) s'impose par la nécessité de rendre les fonctions et unitaires pour . Les coefficients de Fourier trigonométriques d'une fonction de sont, comme d'habitude, et pour et où 1 est la fonction constante .
La formule de Parseval pour prend la forme :

est le sous-espace de constitué des fonctions impaires et le sous-espace de des fonctions de classe .
Une valeur propre d'une application linéaire de dans (attention n'est pas un endomorphisme) est, par définition, un réel tel qu'existe un élément de vérifiant .
On définit de même la notion de vecteur propre et de sous-espace propre de .
On fixe une fonction de classe , paire, -périodique et non constante de dans R. On sait, dans ces conditions, que la fonction est bornée et on pose :

On considère alors les applications linéaires de dans définies par :

On pourra utiliser, sans démonstration, le résultat suivant :
Soit, pour chaque entier naturel non nul une suite de nombres réels. On suppose :

Alors la série de terme général converge absolument et : .
Enfin on dit qu'une famille orthonormale de vecteurs de est totale dans si 0 est le seul vecteur de orthogonal à tous les .
L'objectif du problème est l'étude, par diverses méthodes, des valeurs propres de . On peut traiter une question du problème sans avoir résolu les précédentes à condition d'en admettre clairement les résultats.

I.A - Dans cette section I.A, désigne un nombre réel fixé et on considère l'équation différentielle d'inconnue :

I.A.1) Énoncer précisément le théorème de Cauchy-Lipschitz adapté à l'équation ( ) et exploiter l'unicité pour prouver qu'une solution de est impaire si et seulement si .
I.A.2) Prouver, par exemple à l'aide du wronskien, que ( ) ne peut admettre une base de solutions de même parité. En déduire la dimension d'un sous-espace propre de .
I.B -
I.B.1) Déterminer les valeurs propres de et et, pour chacune d'entre elles, un vecteur propre unitaire associé.
I.B.2) Démontrer, pour tout , les inégalités suivantes :

II.A - Dans toute la suite du problème on note le sous-espace de engendré par la famille orthonormale (on posera ) et la projection orthogonale de sur . Si est une application linéaire de dans et , on conviendra de noter l'endomorphisme de défini par .
II.A.1) Questions de cours dont les preuves ne sont pas demandées : justifier l'existence de . Que représente relativement à la série de Fourier de ? Que valent et ?
II.A.2) Démontrer, pour tout couple , la relation .
II.A.3) Établir, pour tout couple , que . En déduire que est un endomorphisme symétrique de .
II.B - Dans la suite on notera le système des valeurs propres de rangées par ordre croissant (chaque valeur propre apparaît donc dans la liste autant de fois que sa multiplicité l'exige) et une base orthonormée de telle que, pour chaque indice est un vecteur propre de associé à la valeur propre .
II.B.1) À l'aide de la question I.B.2), démontrer, pour tout , les inégalités :

II.B.2)
a) Déduire de la question I.B. 1 les valeurs propres des endomorphismes et classées par ordre croissant.
b) Soit ; montrer qu'il existe un vecteur unitaire appartenant à puis que . Prouver de manière analogue l'inégalité .
c) Dans cette question, on suppose . Démontrer que, pour tout élément de . En déduire, en utilisant une méthode analogue à celle suggérée dans la question précédente, que si alors .
II.C - On pose, dans la suite du problème, . Prouver que, si , la suite converge vers une limite élément de l'intervalle et que la suite est croissante.

Dans cette partie III seulement on suppose le réel strictement positif. On considère les problèmes de Cauchy suivants :

III.A.1) Soit la solution maximale de ( ).

Prouver qu'existent deux fonctions et , de classe sur telles que :

III.A.2) Prouver que est l'unique solution maximale de ( ).

Dans la suite de cette partie on posera pour tout couple :

III.A.3) Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre, dont les coefficients dépendent de la fonction , satisfaite par .
III.B - On admet que la fonction est continue sur .
III.B.1) Prouver, pour tout , les inégalités :

III.B.2) Prouver l'existence d'une constante telle que :

III.B.3) Montrer que, quand est au voisinage de :

III.B.4)
a) Prouver l'existence d'un entier naturel et d'une suite , strictement croissante de réels strictement positifs telle que, pour tout entier naturel , on ait .
b) Montrer que .
III.C - Dans cette section III.C on suppose que le réel vérifie la relation où et on se propose de prouver que est valeur propre de . III.C.1) Démontrer que pour tout :

III.C.2) Prouver que si est une fonction continue, impaire et -périodique alors la fonction est -périodique. En déduire que est périodique.
III.C.3) Prouver que est -périodique et impaire et conclure.
III.C.4) Que représentent les réels définis dans la question III.B.4) pour l'application linéraire ?

On se propose, dans cette partie, d'établir que les définis dans la partie II sont les valeurs propres de associées à un système orthonormal total de vecteurs propres.
IV.A - Dans cette section IV.A on considère une suite réelle telle que, pour tout soit une valeur propre de . On suppose que la suite est convergente et on note sa limite. Pour tout entier , on note un vecteur propre de associé à la valeur propre On veut prouver que est une valeur propre de .
IV.A.1)
a) Montrer que, pour tout entier , on peut prendre unitaire et tel que . Cette condition sera supposée remplie dans la suite de cette partie.
b) Démontrer que . En déduire que :
dont on se propose de prouver la convergence vers 0 quand .
c) Établir la relation :

d) Pour , on pose . Établir les inégalités :

e) Prouver, pour , la relation :

f) Prouver, pour , les inégalités :

g) Déduire du résultat admis dans le préliminaire que .
IV.A.2) On note la base de solutions de l'équation telle que:

et on pose .
a) Prouver que .
b) Prouver que le wronskien de ( ) vaut constamment 1 .
c) En résolvant une équation différentielle, déterminer en fonction de et une fonction , continue et telle que, pour tout :

d) Pour tout entier naturel , on note la fonction de dans définie par :

Prouver que la suite de fonctions tend uniformément vers 0 sur tout segment de .
e) Prouver que . En déduire la limite de la suite .
f) Établir la convergence uniforme sur tout segment de de la suite de fonctions vers une fonction de norme 1 que l'on déterminera en fonction de . En déduire que et que est une valeur propre de .
IV.B - On reprend maintenant les fonctions définies à la section II.B en imposant de surcroît . La section IV.A a établi, pour tout , la convergence uniforme sur tout segment de de la suite vers un élément de unitaire noté qui est un vecteur propre de pour la valeur propre .
IV.B.1) Prouver que la famille est orthonormale; en déduire que la suite est strictement croissante.
IV.B.2) Soit et
a) Prouver, à l'aide de la relation (1) convenablement adaptée que, pour tout tel que et on a:

b) Prouver, grâce au préliminaire, que :
puis
IV.B.3) Montrer que la famille est totale dans .
(On pourra calculer ( ) pour un vecteur orthogonal à tout vecteur ).
IV.B.4) Montrer que les valeurs propres de sont exactement les éléments de la suite .
(On pourra supposer l'existence d'une valeur propre différente des et calculer (e ) pour un vecteur propre e associé à la valeur propre ).

V.A - On rappelle que est non constante.
V.A.1) Prouver que .
V.A.2) On adopte ici les notations de la question III.B.4) dont on utilisera les résultats.
a) Démontrer l'existence d'un entier tel que, pour on ait .
b) Prouver que à partir d'un certain rang. En déduire que

lorsque .