Centrale Mathématiques 1 MP 2014

L'objet de ce problème est l'étude de certaines fonctions définies sur des espaces de matrices.
Dans tout le problème, on fixe un entier et on note (respectivement ) l'espace des matrices carrées à coefficients réels (respectivement complexes) de taille . Si et sont deux entiers entre 1 et , on note le coefficient placé ligne et colonne dans la matrice . On rappelle que . On note la trace de la matrice .
Les parties I, II et III sont indépendantes des parties IV et V.

- Montrer que, pour tout polynôme , l'application est une fonction continue de dans .
I.B - Montrer que l'application est un produit scalaire sur l'espace .

Dans toute la suite du problème, on note la norme associée à ce produit scalaire.
- Pour tous entiers entre 1 et et toute matrice , comparer et .
I.D - Montrer que: .
Pour et , comparer et .

Dans cette partie, on se donne une série entière à coefficients complexes de rayon de convergence strictement positif, éventuellement égal à .
II.A - Soit . Montrer que l'application est définie et continue sur .
II.B - Soit une matrice non nulle telle que .
II.B.1) Établir l'existence d'un entier tel que la famille soit libre et la famille soit liée.
II.B.2) Pour , montrer l'existence et l'unicité d'un -uplet ( ) dans tel que

II.B.3) Montrer qu'il existe une constante telle que:

II.B.4) En déduire que, pour tout entier entre 0 et , la série est absolument convergente dans .
II.B.5) Conclure qu'il existe un unique polynôme tel que et .
II.B.6) Déterminer ce polynôme lorsque et pour tout .
II. - Trouver une condition nécessaire et suffisante sur la série entière pour qu'il existe tel que

III.A - Première application : une formule de trigonométrie matricielle
III.A.1) Rappeler l'énoncé du théorème permettant de faire le produit de deux séries de nombres complexes.

On admet dans la suite de la partie III que le résultat valable pour les séries de nombres complexes est encore valable pour des séries de matrices dans .
III.A.2) Pour tel que et commutent, montrer que .
III.A.3) Pour tout , on pose

Montrer

On fixe une matrice .
III.B.1) Pour assez grand, montrer que, pour tout , la matrice est inversible dans , et que son inverse est la matrice

III.B.2) Montrer que, pour tout et tout assez grand, la matrice

vaut .
III.B.3) On considère le polynôme caractéristique

Montrer que pour assez grand :

III.B.4) En déduire que est la matrice nulle.

On pourra faire intervenir des comatrices.

Soit et une fonction continue telle que

IV. - Soit un nombre strictement inférieur à et la primitive de s'annulant en . Montrer que pour tous et dans , avec , on a :

IV.B - En déduire que la fonction est de classe sur .
IV. - Montrer que , puis que l'ensemble des solutions continues de l'équation (IV.1) forme un -espace vectoriel, dont on déterminera une base.

Dans cette partie, on se donne une fonction et on définit une fonction telle que

On se propose de déterminer les fonctions continues telles que

- Déterminer les fonctions continues vérifiant la condition (V.1) lorsque .
On se place dorénavant dans le cas .
On se donne une fonction continue de dans vérifiant (V.1).
- Montrer

On pourra considérer la matrice .
- En déduire que la fonction est injective, puis qu'elle est strictement monotone sur .
- Montrer que la fonction ne s'annule pas sur .
V. - Le but de cette question est de montrer .
V.E.1) Montrer que si , alors il existe tel que .
V.E.2) Conclure.
- Soit la fonction réciproque de la bijection . Montrer que là où cela est défini

On suppose dans cette question que la fonction prend des valeurs strictement positives sur .
V.G.1) Montrer que la fonction vérifie l'équation (IV.1) sur un intervalle , avec (éventuellement infini) à préciser en fonction de l'intervalle .
V.G.2) En déduire que sur l'intervalle la fonction est de la forme

avec deux constantes et .
V.G.3) Montrer que sur l'intervalle [ la fonction est de la forme

avec deux constantes et .
V.G.4) Montrer que puis que la fonction est une fonction impaire.
- En déduire dans le cas général que, si est une fonction continue vérifiant la condition (V.1), alors elle est impaire et sa restriction à est de la forme , avec et .
V.I - Pour , calculer le déterminant de la matrice ne comportant que des 1 hors de la diagonale et que des sur la diagonale.
En déduire toutes les fonctions continues vérifiant (V.1).