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Centrale Mathématiques 1 MP 2019

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsRéductionAlgèbre générale
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2019
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Centrale MPCentrale 2019MP MathsMaths 2019
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Notations et définitions

Dans tout le problème, désigne ou désigne l'ensemble des entiers naturels et est un entier naturel.
On note le sous-espace vectoriel de des polynômes de degré inférieur ou égal à à coefficients dans et, pour la -algèbre des matrices carrées de taille à coefficients dans . La matrice unité est notée et on désigne par le groupe des matrices inversibles de .
Pour toute matrice de , on note la transposée de la matrice son rang, sa trace, son polynôme caractéristique, son polynôme minimal et l'ensemble de ses valeurs propres dans .
Dans tout le problème, désigne un espace vectoriel sur le corps de dimension finie supérieure ou égale à 2 , et est l'algèbre des endomorphismes de . On note un endomorphisme de .
On note et .
Si avec désigne l'endomorphisme . On note la sous-algèbre commutative de constituée des endomorphismes quand décrit .
De même, on utilise les notations suivantes, similaires à celles des matrices, pour un endomorphisme de : et .
Enfin, on dit que est cyclique si et seulement s'il existe un vecteur dans tel que soit une base de .

I Matrices compagnons et endomorphismes cycliques

Soit .

Q 1. Montrer que et ont même spectre.
Q 2. Montrer que est diagonalisable si et seulement si est diagonalisable.

I.B - Matrices compagnons

Q 3. Soit et . On considère la matrice
Déterminer en fonction de le polynôme caractéristique de .
Q 4. Soit une valeur propre de . Déterminer la dimension et une base du sous-espace propre associé.

I.C - Endomorphismes cycliques

Q 5. Montrer que est cyclique si et seulement s'il existe une base de dans laquelle la matrice de est de la forme , où est un polynôme unitaire de degré .
Q 6. Soit un endomorphisme cyclique. Montrer que est diagonalisable si et seulement si est scindé sur et a toutes ses racines simples.
Q 7. Montrer que si est cyclique, alors (Id, ) est libre dans et le polynôme minimal de est de degré .

I.D - Application à une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton

Q 8. Soit un vecteur non nul de . Montrer qu'il existe un entier strictement positif tel que la famille soit libre et qu'il existe tel que:
Q 9. Justifier que est stable par .
Q 10. Montrer que: divise le polynôme .
Q 11. Démontrer que est l'endomorphisme nul.

II Étude des endomorphismes cycliques

II.A - Endomorphismes cycliques nilpotents

Dans cette sous-partie, on suppose que est un endomorphisme nilpotent de . On note le plus petit entier naturel tel que .
Q 12. Montrer que est cyclique si et seulement si . Préciser alors la matrice compagnon.
II.B - Dans cette sous-partie II.B, on suppose que .
On suppose que (Id, ) est libre et on se propose de montrer que est cyclique.
On factorise le polynôme caractéristique de sous la forme
où les sont les valeurs propres deux à deux distinctes de et les de leurs ordres de multiplicité respectifs.
Pour , on pose .
Q 13. Montrer que les sous-espaces vectoriels sont stables par et que .
Pour , on note l'endomorphisme induit par Id sur le sous-espace vectoriel ,
Q 14. Justifier que est un endomorphisme nilpotent de .
On note le plus petit entier naturel tel que .
Q 15. Pourquoi a-t-on ?
Q 16. Montrer, avec l'hypothèse proposée, que pour tout , on a .
Q 17. Expliciter la dimension de pour , puis en déduire l'existence d'une base de dans laquelle a une matrice diagonale par blocs, ces blocs appartenant à et étant de la forme
On pose .
Q 18. Déterminer les polynômes tels que .
Q 19. Justifier que est cyclique.

III Endomorphismes commutants, décomposition de Frobenius

On appelle commutant de l'ensemble .
Q 20. Montrer que est une sous-algèbre de .

III.A - Commutant d'un endomorphisme cyclique

On suppose que est cyclique et on choisit un vecteur dans tel que est une base de .
Soit , un endomorphisme qui commute avec .
Q 21. Justifier l'existence de de tels que
Q 22. Montrer alors que .
Q 23. Établir que si et seulement s'il existe un polynôme tel que .

III.B - Décomposition de Frobenius

On se propose de démontrer le théorème de décomposition de Frobenius : toute matrice est semblable à une matrice diagonale par blocs, ces blocs étant des matrices compagnons.
Q 24. Montrer que si la réunion d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels de est un sous-espace vectoriel, alors l'un des sous-espaces vectoriels contient tous les autres.
On note le degré de .
Q 25. Justifier l'existence d'un vecteur de tel que est libre.
Pour tout non nul de , on pourra remarquer que est un idéal de engendré par un polynôme unitaire diviseur de et considérer les sous-espaces vectoriels .
On pose et .
Q 26. Montrer que est stable par et que .
On note l'endomorphisme induit par sur le sous-espace vectoriel ,
Q27. Justifier que est cyclique.
On complète, si nécessaire, en une base de . Soit la -ième forme coordonnée qui à tout vecteur de associe sa coordonnée suivant . On note .
Q 28. Montrer que est stable par et que et sont en somme directe.
Soit l'application linéaire de dans définie, pour tout , par
Q 29. Montrer que induit un isomorphisme entre et .
Q 30. Montrer que .
Q 31. En déduire qu'il existe sous-espaces vectoriels de , notés , tous stables par tels que :
  • pour tout , l'endomorphisme induit par sur le sous-espace vectoriel est cyclique ;
  • si on note le polynôme minimal de , alors divise pour tout entier tel que .

III.C - Commutant d'un endomorphisme quelconque

Q 32. Montrer que la dimension de est supérieure ou égale à .
Q 33. On suppose que est un endomorphisme tel que l'algèbre est égale à . Montrer que est cyclique.

IV Endomorphismes orthocycliques

Dans cette partie, on suppose que et que est un espace euclidien. Le produit scalaire de deux vecteurs de est noté et on désigne par le groupe des isométries vectorielles de .
On dit qu'un endomorphisme de est orthocyclique s'il existe une base orthonormale de dans laquelle la matrice de est de la forme (matrice compagnon).

IV.A - Isométries vectorielles orthocycliques

Soit .
Q 34. Soit ayant même polynôme caractéristique que . Montrer qu'il existe des bases orthonormales et de pour lesquelles la matrice de dans est égale à la matrice de dans .
Q 35. En déduire que est orthocyclique si et seulement si ou .

IV.B - Endomorphismes nilpotents orthocycliques

Soit un endomorphisme nilpotent de .
Q 36. Montrer qu'il existe une base orthonormale de dans laquelle la matrice de est triangulaire inférieure.
Q 37. En déduire que est orthocyclique si et seulement si
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