La première partie établit des résultats utiles dans les parties suivantes, qui sont indépendantes entre elles.

On note la partie entière du nombre réel , c'est-à-dire le plus grand nombre entier inférieur ou égal à .
On note l'ensemble des nombres premiers.
On note le plus grand commun diviseur (pgcd) des entiers naturels et .
Si et sont deux nombres entiers relatifs, on note .
L'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients dans est noté .
La matrice identité de est notée .
Le terme d'indice d'une matrice est noté et on note , ou plus simplement lorsque la taille de est implicite.
Pour , on note l'ensemble des nombres entiers naturels divisant et on écrit la somme sur tous les nombres entiers naturels divisant .
Une fonction arithmétique est une fonction . L'ensemble des fonctions arithmétiques est noté . On dit qu'une fonction arithmétique est multiplicative si

On note M l'ensemble des fonctions arithmétiques multiplicatives.
On note 1, et les fonctions arithmétiques

On remarque que ces trois fonctions arithmétiques sont multiplicatives.
Si et sont deux fonctions arithmétiques, le produit de convolution de et est la fonction arithmétique notée définie par

Q 1. Vérifier que est un élément neutre pour la loi *.
Pour tout , on note .
Q 2. Justifier que, pour tout ,

Q 3. En déduire que est commutative.
Q 4. De même, en exploitant l'ensemble , montrer que * est associative.
Q 5. Que peut-on dire de ?

Q 6. Soient et deux fonctions multiplicatives. Montrer que si

alors .
Q 7. Soient et deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Montrer que l'application

est bien définie et réalise une bijection entre et .
Q 8. En déduire que si et sont deux fonctions multiplicatives, alors est encore multiplicative.
Q 9. Soit une fonction multiplicative. Montrer qu'il existe une fonction multiplicative telle que, pour tout et tout ,

et qu'elle vérifie .
Q 10. Que dire de l'ensemble M muni de la loi *?

Soit la fonction arithmétique définie par

Q 11. Montrer que est multiplicative.
Q 12. Montrer que .
Q 13. Soit , et soit telle que, pour tout . Montrer que, pour tout ,

On note la fonction indicatrice d'Euler, définie par :

Q 14. Démontrer que .

Soient une fonction arithmétique, et . On note la matrice de de terme général . On définit aussi la matrice des diviseurs par :

Soit la matrice de terme général
Q 15. Montrer que , où est la transposée de .
Q 16. En déduire que le déterminant de vaut

Soit une fonction arithmétique. On définit, pour tout réel tel que la série converge,

On appelle abscisse de convergence de

On convient que s'il n'existe pas de réel tel que la série converge absolument.
Q 17. Montrer que si , alors la série converge absolument.
Q 18. Soient et deux fonctions arithmétiques d'abscisses de convergence finies. Montrer que si, pour tout , alors .
Q 19. Soient et deux fonctions multiplicatives d'abscisses de convergence finies. Montrer que, pour tout ,

Dans cette partie est un entier naturel non nul.
On note le groupe des permutations de . On notera la composition des permutations de manière multiplicative ; par exemple, si et sont deux permutations de .
On dit que deux permutations et de sont conjuguées s'il existe une permutation telle que .
Pour , on rappelle que, dans , un cycle de longueur est une permutation pour laquelle il existe éléments deux à deux distincts de tels que

L'ensemble est appelé support du cycle et on note . On rappelle le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration.

Toute permutation se décompose de manière unique (à l'ordre des facteurs près) en produit de cycles à supports disjoints : .
À toute permutation , on associe la matrice de permutation où

L'objectif de cette sous-partie est de démontrer la propriété ( S ) suivante.
Les matrices de permutations et sont semblables si et seulement si les permutations et sont conjuguées.
Q 20. Pour toutes permutations , montrer que . En déduire que, pour toutes permutations , si et sont conjuguées alors et sont semblables.
Q 21. On considère, dans cette question uniquement, et les cycles et . On considère également une permutation telle que et . Vérifier que .
Q 22. Plus généralement, montrer que, dans , deux cycles de même longueur sont conjugués.
Pour et , on note le nombre de cycles de longueur dans la décomposition de en cycles à supports disjoints. On note le nombre de points fixes de :

Q 23. Montrer que et sont conjugués si et seulement si, pour tout . La matrice-ligne s'appelle le type cyclique de . On vient donc de démontrer que deux permutations sont conjuguées si et seulement si elles ont le même type cyclique.

Pour tout , on note le polynôme caractéristique de la matrice .
Q 24. Soit et soit un cycle de longueur . Montrer que .
On pourra se ramener au cas et considérer la matrice

Q 25. Montrer que si , alors .
On pourra justifier que est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs sont des matrices de la forme , où est définie ci-dessus si et où si .
Q 26. En raisonnant sur la multiplicité des racines de et de , montrer que si et sont semblables, alors, pour tout ,

(On somme sur les valeurs de multiples de et appartenant à .)
Q 27. En déduire la propriété (S).
On pourra calculer où est le type cyclique de et est la matrice des diviseurs définies au I.D.

Dans cette sous-partie, est un -espace vectoriel de dimension . On dit qu'un endomorphisme de est un endomorphisme de permutation s'il existe une base ( ) de et une permutation telles que pour tout .
On note l'identité de .
On note la trace d'un endomorphisme de et son polynôme caractéristique.
Q 28. Montrer que est un endomorphisme de permutation si et seulement s'il existe une base dans laquelle sa matrice est une matrice de permutation.
Q 29. Soit un endomorphisme de permutation de . Montrer que est diagonalisable et que sa trace appartient à .
Q 30. Soient deux matrices diagonalisables de . Montrer que et sont semblables si et seulement si elles ont même polynôme caractéristique.
Q 31. Soit un endomorphisme de tel que . Montrer que est un endomorphisme de permutation si et seulement si est un entier naturel.
Q 32. Étudier si l'équivalence de la question précédente subsiste lorsqu'on remplace l'hypothèse par pour , puis pour .
Q 33. Soit un endomorphisme de . Montrer que est un endomorphisme de permutation si et seulement s'il vérifie les deux conditions suivantes :
(a) il existe des entiers naturels tels que ;
(b) il existe tel que .

Q 34. Soient et deux endomorphismes de tels que, pour tout . Montrer que et ont même polynôme caractéristique.
Q 35. Soit un endomorphisme diagonalisable de . Montrer que est un endomorphisme de permutation si et seulement s'il existe des entiers naturels tels que, pour tout ,

(On somme sur les valeurs de divisant et appartenant à .)

On définit la matrice de Redheffer par où

On définit également la fonction de Mertens , en posant, pour tout où est la fonction de Möbius définie au I.C.
Q 36. Soient la matrice de terme général

et . En calculant les coefficients de , montrer que .
Pour le calcul du terme d'indice ( ) de , on pourra distinguer le cas , le cas et le cas .

On note le polynôme caractéristique de , de sorte que pour tout réel .
Pour réel distinct de 1 , on définit par récurrence la fonction arithmétique , en posant et, pour tout entier naturel ,

On définit également la matrice de terme général

Q 37. En calculant le produit , montrer que

Dans toute la suite du problème, on suppose que est un réel distinct de 1 et on pose .
On pose de plus .
Q 38. Montrer que .
Q 39. En utilisant les notations des séries de Dirichlet données dans la sous-partie I.E, exprimer, pour des valeurs du réel à préciser, en fonction de et .
On note la fonction logarithme en base 2 , définie par pour tout réel .
Q 40. Montrer que, pour réel suffisamment grand,

où est le nombre de manières de décomposer l'entier en un produit de facteurs supérieurs ou égaux à 2 , l'ordre de ces facteurs étant important.
Q 41. Pour , on pose . Déduire de la question précédente que

Q 42. Montrer enfin que possède 1 comme valeur propre et que sa multiplicité est exactement