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Centrale Mathématiques 1 MP 2022

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Algèbre linéaireAlgèbre généraleRéductionAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVN
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Centrale MPCentrale 2022MP MathsMaths 2022
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Exemples de contraintes symplectiques linéaires

Notations

  • Dans tout le problème, et désignent des entiers naturels non nuls.
  • On note l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients réels et la matrice identité dans .
  • Pour tous entiers naturels non nuls et , on note l'ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients réels. Ainsi, est l'ensemble des matrices colonnes à lignes et .
  • On note l'ensemble des matrices réelles symétriques de .
  • On note le groupe linéaire réel d'ordre (matrices carrées inversibles dans ) et le sous-groupe des matrices de déterminant égal à 1 :
  • On note la transposée d'une matrice .
  • Le produit scalaire canonique de et la norme euclidienne associée sont notés respectivement et .
  • Le groupe orthogonal réel d'ordre est noté :
  • Si est un -espace vectoriel, on note l'ensemble des endomorphismes de et l'ensemble des applications linéaires de dans .

Objectif

Ce problème a pour objectif de définir la notion d'espace symplectique réel et d'étudier certaines propriétés des endomorphismes symplectiques de .
La première partie établit quelques résultats utiles dans la suite.
La deuxième partie définit toutes les notions relatives aux objets symplectiques utilisés dans la suite du problème.
La troisième partie vise plus spécifiquement à montrer que toute matrice symplectique réelle a un déterminant égal à 1 .
La quatrième partie aborde la définition des contraintes permettant d'injecter un objet dans un autre au moyen d'un endomorphisme symplectique.
Les deux dernières parties sont largement indépendantes.

I Préliminaires

Q 1. Soient et deux matrices de telles que
Montrer que .
Q 2. Soit . Montrer que les valeurs propres de sont toutes strictement positives.
En déduire qu'il existe une matrice symétrique à valeurs propres strictement positives telle que .

II Objets symplectiques

II.A - Structure d'espace vectoriel symplectique réel

Soit un -espace vectoriel de dimension finie .
On appelle forme symplectique sur toute application de dans qui vérifie les trois propriétés suivantes:
  • bilinéarité : et ;
  • antisymétrie: ;
  • non dégénérescence : .
Un espace vectoriel symplectique réel ( ) est un -espace vectoriel de dimension finie muni d'une forme symplectique sur .
Q 3. Montrer que, si est une forme symplectique sur , alors pour tout vecteur de .
Pour tout sous-espace vectoriel d'un espace symplectique ( ), on appelle -orthogonal de et on note l'ensemble
Soit un sous-espace vectoriel d'un espace symplectique ( ).
Q 4. Justifier que est un sous-espace vectoriel de .
Q 5. Le sous-espace est-il nécessairement en somme directe avec ?
Pour tout , on note l'application linéaire de dans et on considère
Q 6. Montrer que est un isomorphisme.
Pour , on note la restriction de à .
Q 7. Montrer que l'application de restriction est surjective.
Q 8. Préciser le noyau de . En déduire que .
Q 9. Montrer que la restriction de à définit une forme symplectique sur si et seulement si .

II.B - Structure symplectique standard sur

On suppose qu'il existe une forme symplectique sur et on note la matrice définie par
où désigne la base canonique de .
Q 10. Montrer que
où et désignent les colonnes des coordonnées de et dans la base canonique de .
Q 11. En déduire que est antisymétrique et inversible.
Q 12. Conclure que l'entier est pair.
Jusqu'à la fin du problème, on suppose que est pair et on note l'entier naturel tel que . On note la matrice définie par blocs par
et on note l'endomorphisme de canoniquement associé à .
Q 13. Montrer que l'application est une forme symplectique sur .
Il existe donc des formes symplectiques en dimension paire, et seulement en dimension paire.
La forme symplectique est appelée la forme symplectique standard sur .

II.C - Endomorphismes et matrices symplectiques réels

On appelle endomorphisme symplectique d'un espace vectoriel symplectique réel ( ) tout endomorphisme tel que
On note l'ensemble des endomorphismes symplectiques de l'espace symplectique ( ).
Soit un endomorphisme symplectique de .
Soient des valeurs propres réelles de , et soient les sous-espaces propres associés.
Q 14. Montrer que, si , alors les sous-espaces et sont -orthogonaux, c'est-à-dire:
Soit un endomorphisme de . On note la matrice de dans la base canonique de .
Q 15. Montrer que est un endomorphisme symplectique de l'espace symplectique standard ( ) si et seulement si .
Une matrice est dite symplectique si .
On note l'ensemble des matrices symplectiques réelles dans :
Q 16. Montrer que est un sous-groupe de , stable par transposition et contenant la matrice . Ce groupe est appelé groupe symplectique réel d'ordre .
Soient dans et soit (décomposition par blocs).
Q 17. Montrer que si et seulement si
é

III Déterminant d'une matrice symplectique réelle

L'objectif de cette partie est de montrer l'inclusion par deux méthodes différentes qui reposent chacune sur une propriété structurelle du groupe symplectique qu'on examine au préalable.

III.A - Le cas de la dimension 2

Q 18. Montrer que .

III.B - Commutant de

On note le commutant de la matrice , c'est-à-dire l'ensemble des matrices de qui commutent avec .
Q 19. Montrer que, pour toute matrice ,
Q 20. En déduire que, pour toute matrice .
On pourra considérer le produit de matrices par blocs .

III.C - Décomposition polaire d'une matrice symplectique réelle

On note l'ensemble des matrices symplectiques et orthogonales réelles de . On munit de sa topologie d'espace vectoriel normé de dimension finie.
Q 21. Montrer que est un sous-groupe compact du groupe symplectique .
Q 22. Montrer que .
Q 23. En déduire que, pour toute matrice de .
Jusqu'à la fin de la sous-partie III.C, on considère une matrice .
Soit une matrice symétrique à valeurs propres strictement positives telle que .
Q 24. Montrer que est symplectique.
On pourra considérer une base de vecteurs propres de l'endomorphisme de canoniquement associé à , et montrer que est un endomorphisme symplectique de l'espace standard ( ).
Q 25. Justifier que est inversible puis montrer que la matrice définie par appartient au groupe .
Q 26. Conclure que le déterminant de la matrice est égal à 1 .

III.D - Génération du groupe symplectique par les transvections symplectiques

Soit ( ) un espace vectoriel symplectique de dimension .
On appelle transvection de tout endomorphisme de tel qu'il existe et vérifiant

III.D.1) Transvection symplectique

Q 27. Soit un vecteur non nul et un réel. Montrer que l'application définie par
est une transvection de et qu'il s'agit d'un endomorphisme symplectique de ce même espace.
Les applications pour et sont appelées transvections symplectiques de .
Q 28. Soit un vecteur non nul et soient et des réels. Montrer que .
Q 29. Soient un vecteur non nul et un réel. Montrer que .
Q 30. La réciproque est-elle encore une transvection symplectique ?
On se propose de montrer le théorème suivant :
Tout endomorphisme symplectique de peut s'écrire comme la composée d'au plus transvections symplectiques de :
si , il existe un entier et des transvections symplectiques de telles que .

III.D.2) Un lemme

On commence par montrer le lemme suivant :
Pour tous vecteurs non nuls et de , il existe une composée d'au plus deux transvections symplectiques de telle que .
On fixe et , non nuls, dans .
Q 31. Supposons que . Montrer qu'il existe tel que .
Q 32. Supposons que . Montrer qu'il existe un vecteur tel que et .
Q 33. Montrer le lemme cité ci-dessus.

III.D.3) Le théorème

Soit un endomorphisme symplectique de .
Soit un vecteur non nul.
Q 34. Justifier l'existence de , non colinéaire à , tel que .
On pose le plan vectoriel engendré par les vecteurs et . On va montrer l'existence d'une composée d'au plus quatre transvections symplectiques de telle que
Q 35. Pourquoi existe-t-il une composée d'au plus deux transvections symplectiques de telle que ?
Q 36. Notons le vecteur . Montrer qu'il existe une composée d'au plus deux transvections symplectiques de telle que
On pourra adapter la démonstration du lemme précédent.
La composée d'au plus quatre transvections symplectiques vérifie bien les conditions (III.1) souhaitées.
On pose .
Q 37. Montrer que est stable par et déterminer , endomorphisme induit par sur .
Q 38. Montrer que est stable par .
Q 39. Montrer que la restriction de à munit d'une structure d'espace symplectique et que l'endomorphisme induit par sur est un endomorphisme symplectique.
Q 40. À l'aide de ce qui précède, montrer le théorème annoncé.

III.D.4) Une conséquence topologique

On munit toujours l'espace de sa topologie d'espace vectoriel normé.
Q 41. Montrer que le groupe symplectique est une partie connexe par arcs de cet espace.

III.D.5) Deuxième conséquence

Q 42. Utiliser les résultats de cette sous-partie III.D pour prouver l'inclusion .

IV Exemples de problèmes de plongements symplectiques linéaires

Dans cette partie, on fixe .
On rappelle que désigne le groupe des endomorphismes symplectiques de l'espace symplectique standard . On note de plus le groupe des endomorphismes de de déterminant égal à 1 . Pour , on considère les parties suivantes de .
  • La boule euclidienne fermée de rayon :
  • Le cylindre symplectique de rayon basé sur les axes de coordonnées numéro 1 et :
Sur des exemples (boules ou cylindres) de parties et de , on étudie l'existence d'un endomorphisme tel que lorsque , puis lorsque .

IV.A - Injection par d'une boule dans un cylindre

Q 43. Montrer que, pour tout , il existe tel que .

IV.B - Injection par d'une boule dans une autre

Soit tel qu'il existe vérifiant .
Notons la matrice de dans la base canonique de .
Soit une valeur propre complexe de la matrice .
Q 44. Montrer que .
Pour le cas non réel, si et dans sont telles que est une colonne propre de pour la valeur propre , on pourra montrer que .
Q 45. En déduire que .
Q 46. À quelle condition nécessaire et suffisante sur existe-t-il appartenant à tel que ?

IV.C - Injection symplectique d'une boule dans un cylindre

Soit tel qu'il existe un endomorphisme symplectique vérifiant .
On note la matrice de dans la base canonique ( ) de et l'endomorphisme canoniquement associé à .
Q 47. Montrer que puis que ou .
Q 48. Montrer que .
Q 49. Montrer le théorème de non-tassement linéaire :
Pour et , il existe tel que si et seulement si .
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