On rappelle qu'une fonction de IR dans IR est bornée par un réel si la fonction est majorée par K :

I.A - Soit une fonction de classe et de classe par morceaux de IR dans IR telle que et soient bornées sur IR respectivement par et .
I.A.1) En écrivant, pour , l'inégalité de Taylor-Lagrange entre et et entre et , montrer que:

I.A.2) déduire que est bornée par .

I.B.1) Montrer de même que, si est de classe et de classe par morceaux de IR dans IR, telle que et soient bornées sur IR respectivement par et , on a :

I.B.2) est-elle également bornée sur IR ?

Dans toute la suite du problème, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

Soit une fonction, non constante, de classe et de classe par morceaux de IR dans IR telle que et soient bornées sur IR respectivement par et .
II.A - En utilisant la question 1) du préliminaire ainsi quel'inégalité de TaylorLagrange à l'ordre appliquée à la fonction entre les valeurs et pour , montrer que la fonction est, elle aussi, bornée sur IR.
II.B - En déduire que toutes les dérivées sont bornées pour . On note alors .

II.C.1) Montrer que pour tout entier tel que , on a .
II.C.2) En utilisant la suite finie avec , en déduire que pour tout entier entre 0 et , on a:

Est-ce la meilleure majoration possible?

E (respectivement F) désigne l'espace des fonctions continues par morceaux (respectivement continues) de IR dans IR telles que pour tout réel x. On admettra -c'est évident- que ce sont des sous-espaces vectoriels réels de l'espace de toutes les fonctions bornées de IR dans IR que I'on munit de la norme de la convergence uniforme, notée ici et définie par

III.A - Démontrer que pour toute fonction dans , il existe unique dans telle que, en tout point où est continue, on a . On note alors ou et l'on définit ainsi une application de dans .
III.B - On considère la fonction de telle que:

On pose et si , puis pour .
III.B.1) Déterminer et représenter graphiquement sur le segement [0;2] les fonctions pour . Dans toute la suite, on notera .
III.B.2) Montrer que pour tout et tout ,

III.B.3) Montrer que, pour ,

III.C.1) Soit . Montrer que:

III.C.2) En déduire que, pour tout , on a .
III.D - Déterminer les fonctions de norme 1 de telles que:

III.E - Montrer qu'il n'existe pas de fonction de norme 1 dans F telle que:

III.F - Soit maintenant un entier naturel non nul et une fonction de classe et declasse par morceaux de IR dans IR telle que pour tout réel .
III.F.1)
a) Montrer que si a zéros distincts sur [ , alors a au moins zéros distincts sur .
b) Montrer quesi et ont exactement zéros distincts sur [ ,alors elles n'ont aucun zéro commun.
III.F.2) Pour tout réel tel que et tout réel , on définit la fonction I: xa .
a) On suppose que . Montrer que I s'annule au plus fois sur [0;2 p[ .
b) On suppose que . Montrer que I s'annule au moins fois sur [0;2 p[ .
c) En déduire que, si et , les I pour ont exactement 2 p zéros sur l'intervalle [ [ .
III.F.3) On suppose f non constante.
a) Montrer que l'on peut trouver et dans tels que:

On pose alors .
b) Ici on suppose . Vérifier que .
c) En déduire que:

d) Montrer que cette dernière implication est encore vraie pour .
III.G - Montrer qu'il existe une fonction declasse de IR dans [ ] valant 1 sur le segment et 0 en dehors du segment (on pourra utiliser la fonction sur le segment ).
III.H - Soit maintenant une fonction de classe et de classe par morceaux de IR dans IR telle que et soient bornées sur IR et pour laquelle:

Soit un réel de l'intervalle [ [ . Pour tout entier naturel non nul, on note la fonction de période telle que:

III.H.1) Montrer que est continue par morceaux sur IR et que l'on a, pour p assez grand,

III.H.2) En déduire que l'on a encore .
III.I - Soit une fonction de classe et de classe par morceaux de IR dans IR telle que et soient bornées sur IR. Montrer que, pour tout entier compris entre 0 et est bornée et que l'on :

(On pourra utiliser une fonction du type xa af(bx)).

IV.A - On définit, pour entier supérieur ou égal à 2 , la fonction de , affine sur et et vérifiant:

En utilisant le III.C, montrer que, pour tout entier naturel , on a:

IV.B - En déduire que l'inégalité du III .I ne peut être améliorée.