Centrale Mathématiques 1 PC 2006

On note le segment de et l'espace préhilbertien complexe des fonctions continues sur à valeurs complexes muni du produit scalaire :

Pour tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle , on note l'unique nombre réel appartenant à l'intervalle tel que .
Pour et

a) Déterminer le développement en série entière au point 0 de la fonction :

et préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.
b) Pour , on pose

Montrer que la fonction :

c) Montrer que est une racine carrée de la fonction

d) Montrer que :

On pourra dorénavant noter

e) Cette question est indépendante des précédentes.

Pour tout entier naturel , prouver l'existence d'une fonction polynomiale telle que, pour tout réel , on a .

I.A - Montrer que, pour tout , la fonction

est l'unique solution sur d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients polynomiaux prenant la valeur 1 en 0 . On donnera cette équation différentielle :

I.B.1) Vérifier que pour et on a

où est une combinaison linéaire à coefficients positifs d'applications de la forme où . Préciser la valeur de .
I.B.2) Montrer que pour et , on a où est un polynôme à coefficients réels.
I.B.3) Montrer que pour et , on a , puis que pour

avec convergence normale sur où .
I.B.4) Montrer que la suite vérifie et pour

I.B.5) Déterminer pour tout le degré et la parité de . Déterminer le coefficient dominant de , ainsi que et .

I.C.1) Soit et deux éléments distincts de . Calculer et simplifier la dérivée de la fonction définie sur par:

après avoir vérifié qu'elle est bien définie.
En déduire la valeur de l'intégrale :

I.C.2) Montrer que:

On admettra sans démonstration l'identité suivante :

I.C.3)
a) Pour tout couple d'éléments de établir que :

b) On fixe dans l'intervalle [ . Montrer que, pour tout couple ( ) appartenant à :

la série convergeant normalement sur tout l'ensemble de la forme avec . Conclure que :

c) En écrivant que, pour tout , prouver
que, pour tout : que, pour tout :

d) Conclure que

où est le symbole de Kronecker : si et sinon. Interpréter le résultat obtenu.
I.D - Soit un entier supérieur ou égal à 1 et un zéro de (a priori dans . On note la fonction polynôme telle que, pour .
I.D.1) Calculer ( ) .
I.D.2) En déduire que est réel et que .
I.D.3) Montrer que est une racine simple de .

I.E.1) En utilisant (2), établir que, pour tout entier naturel et tout couple de nombres complexes distincts :

I.E.2) En déduire que, pour tout :

I.E.3) Déduire de cette dernière formule que tout zéro de est strictement compris entre deux zéros consécutifs de .
I.F - Pour toute fonction de classe sur , on note la fonction de dans définie par :

Prouver que, pour tout couple de fonctions de classe sur , .
En déduire que, pour tout et tout entier .
En déduire que est solution de l'équation différentielle :

II.A.1) On associe à et à le coefficient . Montrer que la série de terme général

II.A.2) Montrer, à l'aide de I.F - que si est de classe sur , alors la série est convergente.
En déduire que la série est convergente.

II.B.1) Pour tout , on définit dans par .

Montrer que si est telle que, pour tout alors est nulle.
II.B.2) Supposant de classe sur , montrer que l'expression :

II.B.3) Montrer que g est nulle.
II.B.4) Déduire de ce qui précède une condition suffisante pour que la série de fonctions

II.C - Pour tout et tout , vérifier que la fonction est intégrable sur le segment .
Établir que, pour tout , la fonction définie par:

est une fonction polynôme de degré et que la suite vérifie les conditions initiales et la même relation de récurrence que la suite à partir du rang .
II.D - Soit fixé. On note les zéros de écrits dans l'ordre croissant, i.e. .
II.D.1) Montrer que où

II.D.2) Soit où . Montrer que est une base de l'espace vectoriel des formes linéaires sur .
II.D.3) En déduire qu'il existe une suite ( ) de nombres réels et une seule telle que :

II.D.4) Montrer, en utilisant éventuellement une division euclidienne par :

II.D.5) Montrer que les sont éléments de et que

II.E.1) Montrer que si est le polynôme défini en II.C alors, avec les notations de II.D, on a :

On pourra commencer par examiner le cas où .
II.E.2) En déduire que les ( ) zéros de sont situés strictement entre les zéros de .

II.F.1) Montrer, pour , que:

II.F.2) En déduire que, pour tout , la suite de fonctions

approche uniformément la fonction