Centrale Mathématiques 1 PC 2009

Les calculatrices sont autorisées.
Le problème porte sur l'étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme

Les parties I et II traitent d'un exemple. Les parties III, IV et V, indépendantes des deux premières, ont pour objet l'étude de propriétés de la somme d'une série factorielle convergente sur l'intervalle .

I.A - Pour tout entier naturel non nul, on pose :

I.A.1) Montrer que la série est convergente.
I.A.2) On pose :

Calculer .
I.A.3) Pour , et pour quelconque dans , exprimer en fonction de et .
I.A.4) En déduire la valeur de en fonction de , pour .
I.B - Soient un entier et un entier naturel .

Donner une majoration du reste

en le comparant à une intégrale.

II.A.1) Montrer par récurrence l'existence de trois suites ( ), ( ) et ( ) d'entiers naturels définies pour telles que, pour tout réel strictement positif et pour tout entier on ait:

II.A.2) Exprimer et à l'aide de et .
II.A.3) Montrer que: .
II.A.4) Calculer pour et 4.
II.B - On désire calculer une valeur décimale approchée de

avec une erreur inférieure ou égale à .
II.B.1) En utilisant I.B, déterminer un entier naturel suffisant pour que

II.B.2) Donner un majorant simple de :

et montrer, à l'aide de tout ce qui précède, comment calculer pour la même valeur de avec une valeur de moins grande que celle trouvée à la question II.B.1.
II.B.3) Donner une valeur décimale approchée à près (par défaut) de en utilisant ce qui précède.

III.A.1) Pour tout entier naturel et pour tout réel strictement positif, on pose:

Montrer que la série de terme général

III.A.2) En déduire qu'il existe (dépendant de et strictement positif) tel que:

III.B - Soit une suite de complexes et un réel strictement positif.

Montrer que la série est absolument convergente (en abrégé AC) si et seulement si la série est AC.
III.C - On désigne désormais par l'ensemble des suites indexées par IN telles que la série soit AC pour tout réel strictement positif.
Soit un élément de , montrer que :
III.C.1) la fonction définie par :

est continue sur l'intervalle .
III.C.2) la fonction tend vers 0 en .

III.D.1) Donner un exemple d'un élément de avec non nul pour tout entier .
III.D.2) Donner un exemple d'une suite qui ne soit pas un élément de .
III.E - Soit un élément de .
III.E.1) Montrer que, pour tout entier la fonction a est de classe sur l'intervalle et que :

III.E.2) En déduire que la fonction est de classe sur l'intervalle .
N.B. On dira alors que la fonction est développable en série factorielle (sousentendu ici sur et en abrégé DSFA) et on admettra qu'un tel développement est unique.

IV.A.1) Soit un entier naturel. On pose:

Montrer que les polynômes forment une base de l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à .
IV.A.2) En déduire qu'il existe des rationnels indépendants de notés tels que :

Exprimer en fonction de et .
IV.B - Montrer, pour et entier naturel, l'existence de l'intégrale :

et calculer sa valeur en fonction de et .
IV.C - Montrer que :

En déduire que, pour tout élément de , on a :

IV.D - Soit un élément de .
IV.D.1) Montrer que la série entière a un rayon de convergence supé-
rieur ou égal à 1 . rieur ou égal à 1 .
On note la fonction définie sur [ par :

IV.D.2) Montrer que la fonction a est définie sur , DSFA sur ce même intervalle et égale à .

V.A - On reprend les notations des parties III et IV.
V.A.1) Montrer que la fonction a est dérivable sur l'intervalle et que :

V.A.2) Montrer que la fonction a est développable en série entière sur l'intervalle ]-1, .
V.A.3) On pose :

Vérifier que et que:

V.B - Soient et . Montrer :

V.C - Montrer que, pour tout entier tel que , on a :

V.D - Montrer que :

V.E - En déduire que la série de terme général est AC pour .
V.F - Montrer enfin que la fonction est DSFA sur l'intervalle et que :

V.G - Exemple

Montrer que la fonction a est DSFA sur et calculer les coefficients notés et pour les fonctions et pour .
Vérifier qu'on retrouve ainsi les calculs faits en seconde partie.